1,Cho a,b,c > 0 .cm :
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{3}{2}.(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$
2,cho x,y,z > 0 ,x+y+z =1 .Tìm GTNN a= $\frac{1}{2a-a^2}+\frac{1}{2b-b^2}+\frac{2}{2c-c^2}$
3,cho $-1 \leq x\leq 1 CM $$\sqrt[8]{1-x}+\sqrt[8]{1+x}+\sqrt[8]{1-x^2}\leq 3$
4,Tìm GTLN $x(2002-x^{2001})$
bài 1 sai đề kìa bạn
để mình sửa cho(và làm luôn)
đề CMR$\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^{2}\geq \frac{3}{2}\left ( \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} \right )$
lời giải
bất đẳng thức trên tương đương với
$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}}+2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )\geq \frac{3}{2}\left ( \sum \frac{a+b}{c} \right )$
đặt $x=\frac{a}{b}$,$y=\frac{b}{c}$,$z=\frac{c}{a}$
khi đó cần chứng minh
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq \frac{3}{2}\left ( x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )$
nhân 2 cả 2 vế lên và rút gon
$\Leftrightarrow 2\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3\left ( x+y+z \right )$
bây giờ thì dễ rồi,ghép đối xúng ta có
$\sum \left ( x^{2}+x^{2}+\frac{1}{x} \right )\geq \sum \left ( 3\sqrt[3]{x^{3}} \right )= 3\left ( x+y+z \right )$(đpcm)
dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$