Chủ đề này có 5 trả lời

[bangbang1412]

Chứng minh bất đẳng thức :$\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{3}{2}.\frac{\sum a^{3}}{\sum a^{2}}$

Với mọi $a,b,c>0$

Và bất đẳng thức :

                              $\sum \frac{x^{3}}{y^{2}+z^{2}}\geq \frac{3}{2}$

Với $x,y,z>0$ thỏa mãn $\sum x^{2}\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 12-09-2013 - 23:00

[Hoang Tung 126]

Câu 1 : Áp dụng bdt bunhiacopxki ta có :A=$\sum \frac{a^2}{b+c}= \sum \frac{a^6}{a^4.(b+c)}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{\sum a^4.(b+c)}\geq \frac{3}{2}.\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$. Quy đồng rồi nhân chéo ta được bdt đúng là :$\left ( a+b \right ).(a-b)^4+\left ( b+c \right ).(b-c)^4+\left ( c+a \right ).(c-a)^4 \geq 0$ là đúng .Dấu = xảy ra khi a=b=c

[nghiemthanhbach]

rồi, đây

áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có: $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{\sum a}{2}$

 Mà $\frac{\sum a}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\prod a}{2}}$

và $\frac{\sum a^2}{\sum a^3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\prod a^2}{\prod a^3}}\geq \frac{1}{\sqrt[3]{\prod a}}$

suy ra dpcm, giờ thì like tui được chưa

[bangbang1412]

rồi, đây

áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có: $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{\sum a}{2}$

 Mà $\frac{\sum a}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\prod a}{2}}$

và $\frac{\sum a^2}{\sum a^3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\prod a^2}{\prod a^3}}\geq \frac{1}{\sqrt[3]{\prod a}}$

suy ra dpcm, giờ thì like tui được chưa

sai rồi 

[nghiemthanhbach]

sai rồi 

sai chỗ nào?

[tim1nuathatlac]

Mình có cách này, mọi người c0i có được không.

 

$Q.e.D\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{a^{2}}{b+c}-\frac{a}{2} \right )\geq \frac{3\sum a^{3}-\sum a^{2}\sum a}{2\sum a^{2}}$

 

$\Leftrightarrow \frac{a\left ( a-b \right )+a\left ( a-c \right )}{b+c}+\frac{b\left ( b-a \right )+b\left ( b-c \right )}{a+c}+\frac{c\left ( c-a \right )+c\left ( c-b \right )}{a+b}\geqslant \frac{\sum a^{2}\left [ \left ( a-b \right )+\left ( a-c \right ) \right ]}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

 

$\Leftrightarrow \sum \left ( a-b \right )\left ( \frac{a}{b+c}-\frac{b}{c+a} \right )\geq \frac{\sum \left ( a-b \right )\left ( a^{2}-b^{2} \right )}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

 

$\Leftrightarrow \sum \left ( a-b \right )\frac{\left ( a^{2}-b^{2} \right )+c\left ( a-b \right )}{\left ( a+c \right )\left ( b+c \right )}\geq \frac{\sum \left ( a-b \right )\left ( a^{2}-b^{2} \right )}{a^{2}+b^{2} +c^{2}}$

 

$\Leftrightarrow \sum \left ( a-b \right )^{2}\left [ \frac{a+b+c}{\left ( a+c \right )\left ( b+c \right )}-\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \right ]\geq 0$

 

Bất đẳng thức trên luôn đúng do:

$\left ( a+b+c \right )\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )> \frac{\left [ \left ( a+b \right )+\left ( b+c \right )+\left ( c+a \right ) \right ]^{3}}{27}\geq \left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\square$