Biết $a+1$ và $2a+1$ đồng thời là số chính phương $(a\in\mathbb{Z}).$ Chứng minh: $a\vdots 24.$
#2
Đã gửi 16-09-2013 - 12:09
Biết $a+1$ và $2a+1$ đồng thời là số chính phương $(a\in\mathbb{Z}).$ Chứng minh: $a\vdots 24.$
Lời giải. Tính chất $x^2 \equiv 0,1 \pmod{3}, \; x^2 \equiv 0,1,4 \pmod{8}$.
Nếu $a \equiv 1 \pmod{3}$ thì $a+1 \equiv 2 \pmod{3}$, không thể là số chính phương. Nếu $a \euqiv 2 \pmod{3}$ thì $2a+1 \equiv 2 \pmod{3}$, không thể là số chính phương. Vậy $a \equiv 0 \pmod{3}$.
Ta có $2a+1$ chính phương nên $2a+1 \equiv 0 \pmod{8} \Rightarrow a \equiv 4 \pmod{8}$. Như vậy $a+1$ lẻ, nên $a+1$ chính phương khi $a+1 \equiv 1 \pmod{8}$, do đó $a \equiv 0 \pmod{8}$.
Vậy $24|a$. $\blacksquare$
Nhận xét. Có thể chứng minh hẳn $48|a$.
- Near Ryuzaki yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đại số
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh