Chủ đề này có 3 trả lời

[bangbang1412]

Đặt $P(x)=\prod (x-a_{i})$ với $a_{i}$ là các số nguyên . Giả sử $degP(x)=n\geq 2$

Chứng minh $P(x)=1$ không có nghiệm nguyên .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 18-09-2013 - 19:34

[Juliel]

Đặt $P(x)=\prod (x-a_{i})$ với $a_{i}$ là các số nguyên . Giả sử $degP(x)=n\geq 2$

Chứng minh $P(x)=1$ không có nghiệm nguyên .

Thay vì chứng minh $P(x)-1$ không có nghiệm nguyên, ta chứng minh đa thức $Q(x)=P(x)-1=\left ( x-a_{1} \right )(x-a_{2})...\left ( x-a_{n} \right )-1$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$.

Thật vậy, ta giả sử đa thức $Q\left ( x \right )=A\left ( x \right ).B\left ( x \right )$ với $A(x),B(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ],degA(x)<n,degB(x)<n$

Xét đa thức $T(x)=A\left ( x \right )+B\left ( x \right )$, $degT(x)<n.$

Ta có $$Q(a_{1})=-1\Rightarrow A\left ( a_{1} \right )B\left ( a_{1} \right )=-1\Rightarrow T(a_{1})=A\left ( a_{1} \right )+B\left ( a_{1} \right )=0$$

Tương tự : $T\left ( a_{2} \right )=T\left ( a_{3} \right )=...=T\left ( a_{n} \right )=0$.

Điều này chứng tỏ rằng $T(x)$ có $n$ nghiệm $a_{1},a_{2},...,a_{n}$. Điều này vô lí vì $degT(x)<n$. Như vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 18-09-2013 - 20:23

[bangbang1412]

Thay vì chứng minh $P(x)-1$ không có nghiệm nguyên, ta chứng minh đa thức $Q(x)=P(x)-1=\left ( x-a_{1} \right )(x-a_{2})...\left ( x-a_{n} \right )-1$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$.

Thật vậy, ta giả sử đa thức $Q\left ( x \right )=A\left ( x \right ).B\left ( x \right )$ với $A(x),B(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ],degA(x)<n,degB(x)<n$

Xét đa thức $T(x)=A\left ( x \right )+B\left ( x \right )$, $degT(x)<n.$

Ta có $$Q(a_{1})=-1\Rightarrow A\left ( a_{1} \right )B\left ( a_{1} \right )=-1\Rightarrow T(a_{1})=A\left ( a_{1} \right )+B\left ( a_{1} \right )=0$$

Tương tự : $T\left ( a_{2} \right )=T\left ( a_{3} \right )=...=T\left ( a_{n} \right )=0$.

Điều này chứng tỏ rằng $T(x)$ có $n$ nghiệm $a_{1},a_{2},...,a_{n}$. Điều này vô lí vì $degP(x)<n$. Như vậy ta có điều phải chứng minh.

nên giải thích thêm $degT(x)=max{degA(x),degB(x)}$ thì bài mới hoàn chỉnh , không sẽ có người không hiểu   ( góp ý thôi nhá ) 

[Juliel]

nên giải thích thêm $degT(x)=max{degA(x),degB(x)}$ thì bài mới hoàn chỉnh , không sẽ có người không hiểu   ( góp ý thôi nhá ) 

$degT(x)\leq max\left \{ degA(x),degB(x) \right \}$