$Cho x,y,z>0, xyz=1.CMR:\frac{1}{\sqrt{8x+1}}+\frac{1}{\sqrt{8y+1}}+\frac{1}{\sqrt{8z+1}}\geqslant 1$
#2
Đã gửi 05-10-2013 - 08:00
Hoang Tung 126
-
- Thành viên
-
- 2061 Bài viết
Thiếu tá
Đặt $x=a^3,y=b^3,z=c^3= > abc=1$
Ta có :$\sum \frac{1}{\sqrt{8a^3+1}}=\sum \frac{1}{\sqrt{(2a+1)(4a^2-2a+1)}}\geq \sum \frac{1}{\frac{4a^2-2a+1+2a+1}{2}}=\sum \frac{2}{4a^2+2}=\sum \frac{1}{2a^2+1}$=B
Do $abc=1$ nên đặt $a=\frac{mn}{p^2},b=\frac{pm}{n^2},c=\frac{pn}{m^2}$
$= > B=\sum \frac{1}{2a^2+1}=\sum \frac{1}{2.(\frac{mn}{p^2})^2+1}=\sum \frac{p^4}{p^4+2(mn)^2}\geq \frac{(p^2+m^2+n^2)^2}{p^4+m^4+n^4+2(mn)^2+2(pm)^2+2(pn)^2}=\frac{(p^2+m^2+n^2)^2}{(p^2+m^2+n^2)^2}=1$(đpcm)
Dấu = xảy ra khi m=n=p hay x=y=z=1
- deathavailable, canhhoang30011999, SPhuThuyS và 2 người khác yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024  bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
