Chủ đề này có 3 trả lời

[eatchuoi19999]

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng $\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geqslant \frac{3}{2}.$

 

[hoangtubatu955]

Theo BĐT AM-GM ta có:

$\dfrac{a}{b^2+1}=a-\dfrac{ab^2}{b^2+1} \ge a-\dfrac{ab}{2}$.
Tương tự rồi cộng lại thì ta có: 

$VT \ge 3-\dfrac{ab+bc+ca}{2} \ge \dfrac{3}{2}$.

 

Bài toán chứng minh xong.

Đây gọi là kĩ thuật Cauchy ngược dấu nhé.

 

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng $\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geqslant \frac{3}{2}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtubatu955: 03-11-2013 - 10:38

[Near Ryuzaki]

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng $\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geqslant \frac{3}{2}.$

Sử dụng kĩ thuật Cauchy - ngược dấu;

$\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}$

Vậy $\sum \frac{a}{1+b^2}\geq \sum a-\frac{\sum ab}{2}\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

[Phuong Thu Quoc]

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng $\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geqslant \frac{3}{2}.$

Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có

$\dpi{100} \sum \frac{a}{1+b^{2}}=\sum \frac{a^{2}}{a+ab^{2}}\geq \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{\sum \left ( a+ab^{2} \right )}=\frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{\sum a+\sum ab^{2}}$

Có thể chứng minh được $\dpi{100} \sum ab^{2}\leq 3$

Do đó $\dpi{100} VT\geq \frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau