Chủ đề này có 3 trả lời

[Niels Henrik Abel edu1998]

Cho a;b>0.Chứng minh
$\frac{ab(a+b)}{2}\leq \frac{(a^2+b^2)^3}{(a+b)^3}$


Cho a,b,c>0.chứng minh rằng :
$\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ca}{c+a+2b}\leq 1$

Cho các số không âm a,b,c có $a+b+c\leq 3$ . Chứng minh rằng:
$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$

[25 minutes]

Cho a;b>0.Chứng minh

$\frac{ab(a+b)}{2}\leq \frac{(a^2+b^2)^3}{(a+b)^3}$

Áp dụng AM-GM ta có 

     $a^2+b^2 \geqslant \frac{(a+b)^2}{2}\Rightarrow \frac{(a^2+b^2)^3}{(a+b)^3}\geqslant \frac{(a+b)^6}{8(a+b)^3}=\frac{(a+b)^3}{8}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh 

                  $\frac{(a+b)^3}{8}\geqslant \frac{ab(a+b)}{2}\Leftrightarrow (a+b)^2 \geqslant 4ab$

BĐT trên luôn đúng

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b>0$

[kfcchicken98]

$\frac{ab}{a+b+2c}= ab\frac{1}{a+c+b+c}\leq ab(\frac{1}{4(a+c)}+\frac{1}{4(c+b)})= \frac{1}{4}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c})$

tương tự, $\frac{bc}{b+c+2a}\leq \frac{1}{4}(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c})$
$\frac{ca}{c+a+2b}\leq \frac{1}{4}(\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{a+b})$
cộng 3 vế vào suy ra VT nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{a+b+c}{4}$
P/S : Check lại đề 

[kfcchicken98]

có $a^{2}+\sqrt{a}+\sqrt{a}\geq 3a$
$b^{2}+\sqrt{b}+\sqrt{b}\geq 3b$

$c^{2}+\sqrt{c}+\sqrt{c}\geq 3c$

suy ra $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 9= (a+b+c)^{2}$
tương đương với $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 2(ab+bc+ca)$ đpcm
P/S: Check lại đề; $a+b+c=3$ chứ ko phải $a+b+c\leq 3$