Chủ đề này có 1 trả lời

[Mua buon]

Cho $a, b, c \in (0,\dfrac{3}{2})$ và $a+b+c=3$

Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{\sqrt{3-2a}}+\dfrac{1}{\sqrt{3-2a}}+\dfrac{1}{\sqrt{3-2a}} \ge \dfrac{9}{ab+bc+ca}$

 

P/s: Bài rất trước đây thấy rồi mà h ko tìm lại được ~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mua buon: 19-01-2014 - 22:08

[banhgaongonngon]

Cho $a, b, c \in (0,\dfrac{3}{2})$ và $a+b+c=3$

Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{\sqrt{3-2a}}+\dfrac{1}{\sqrt{3-2a}}+\dfrac{1}{\sqrt{3-2a}} \ge \dfrac{9}{ab+bc+ca}$

 

Trước tiên ta chứng minh nhận xét sau

$\frac{1}{\sqrt{3-2a}}\geq \frac{4}{(3-a)^{2}}$        $(*)$

 

Tuy nhiên ta thấy bất đẳng thức trên hoàn toàn đúng do nó tương đương với

$(a-1)^{2}\left ( (a-5)^{2}+8 \right )\geq 0$

 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=1$.

 

Áp dụng bất đẳng thức trên ta được

$\mathrm{VT}=\sum \frac{1}{\sqrt{3-2a}}\geq \sum \frac{4}{(3-a)^{2}}=\sum \frac{4}{(b+c)^{2}}$

 

Tuy nhiên, từ bất đẳng thức $\mathrm{Iran -96}$ ta có

$\sum \frac{4}{(b+c)^{2}}\geq \frac{9}{\sum ab}$

 

Nên ta có bất đẳng thức cần chứng minh.

 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.