Bài toán : Cho đa thức $P(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ có tính chất đa thức này nhận giá trị nguyên với tất cả những trị số nguyên của $x$.Xét họ các đa thức sau :
$P_{0}(x)=1;\\ P_{1}(x)=x;\\ P_{2}(x)=\frac{x(x-1)}{2!};\\ ..................\\ P_{n}(x)=\frac{x(x-1)(x-2)...(x-n+1)}{n!}$
Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $b_{0},b_{1},b_{2},...,b_{n}$ sao cho có biểu diễn được $P(x)$ dưới dạng $P(x)=b_{0}P_{0}(x)+b_{1}P_{1}(x)+b_{2}P_{2}(x)+...+b_{n}P_{n}(x)$
----------------------------------
CHÚC MỪNG NĂM MỚI 2014!
Không biết đúng không nữa nha !
Lời giải :
Theo giả thiết đề bài :
$$P(0)=k_{0},P(1)=k_{1},P(2)=k_2,...,P(n-1)=k_{n-1}$$
Với $k_{i}\in \mathbb{Z},\;\forall i=\overline{0,n-1}$
Áp dụng công thức nội suy $Newton$ thì :
$$P(x)=\alpha _{0}+\alpha _{1}x+\alpha_{2}x(x-1)+\alpha _{3}x(x-1)(x-2)+...+\alpha _{n}x(x-1)(x-2)...(x-n+1)=\alpha _{0}.P_0(x)+\alpha _1P_1(x)+2!.\alpha _2P_2(x)+3!\alpha _{3}.P_3(x)+...+n!.\alpha _{n}P_n(x)$$
Khi đó ta chọn $$b_0=\alpha _0,b_1=\alpha _1,b_2=2!\alpha _2,b_3=3!\alpha _3,...,b_n=n!\alpha _n$$
Thì ta có ngay :
$$P(x)=b_0P_0(x)+b_1P_1(x)+...+b_nP_n(x)$$
Hơn nữa dễ thấy $\alpha _{i}\in \mathbb{Z},\;\forall i=\overline{0,n}$
Nên $b_i\in \mathbb{Z},\;\forall i=\overline{0,n}$
Ta có điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 01-02-2014 - 22:51
Solved
