Chủ đề này có 3 trả lời

[eatchuoi19999]

Cho $\sqrt{2}-\frac{m}{n}>0(m,n\in\mathbb{N}^*).$ Chứng minh: $\sqrt{2}-\frac{m}{n}>\frac{1}{3mn}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi eatchuoi19999: 22-02-2014 - 21:02

[buiminhhieu]

Cho $\sqrt{2}-\frac{m}{n}>0(m,n\in\mathbb{N}^*).$ Chứng minh: $\sqrt{2}-\frac{m}{n}>\frac{1}{3mn}.$

Từ giả thiết ta có $\sqrt{2}>\frac{m}{n}\Rightarrow 2n^{2}>m^{2}$

Do $m,n\in \mathbb{N^{*}}$ nên

$2n^{2}\geq m^{2}+1\Leftrightarrow 2\geq (\frac{m}{n})^{2}+\frac{1}{n^{2}}=(\frac{m}{n})^{^{2}}+\frac{2m}{3mn^{2}}+\frac{1}{3n^{2}}$

Mặt khác $3m^{2}> 1(m\in \mathbb{N}^{*})\Rightarrow 9m^{2}n^{2}>3n^{2}\Rightarrow \frac{1}{3n^{2}}>\frac{1}{9m^{2}n^{2}}$

$\Rightarrow 2>(\frac{m}{n})^{2}+\frac{2m}{3n.mn}+(\frac{1}{3mn})^{2}=(\frac{m}{n}+\frac{1}{3mn})^{2}$

Do đó $\sqrt{2}>(\frac{m}{n}+\frac{1}{3mn})\Rightarrow \sqrt{2}-\frac{m}{n}>\frac{1}{3mn}$

p/s:đây là bài toán có vẻ hơi lạ nhưng chú ý một chút là được

VD tương tự: Cho $m,n\in \mathbb{Z^{+}}$ t/m:$\sqrt{7}>\frac{m}{n}$

Chứng minh:$\sqrt{7}n-m>\frac{1}{m}$

P/s:VD này chỉ khác một chút thôi mn giải thử xem!

[angleofdarkness]

VD tương tự: Cho $m,n\in \mathbb{Z^{+}}$ t/m:$\sqrt{7}>\frac{m}{n}$

Chứng minh:$\sqrt{7}n-m>\frac{1}{m}$

 

 

Từ $\sqrt{7}-\frac{m}{n}>0 \Rightarrow 7>\frac{m^2}{n^2} \Rightarrow 7n^2>m^2$

 

Do m; n > 0 nên $7n^2 \geq m^2+1$

 

Dễ nhận thấy $m^2+1$ và $m^2+2$ không chia hết cho 7 nên $7n^2 \geq m^2+3$

 

- Xét m = 1 thì $7n^2>4 \Rightarrow \sqrt{7}n>2=\frac{1}{m}+m$ (do m = 1) $\Rightarrow \sqrt{7}n-m>\frac{1}{m}$

 

- Xét m > 1 thì $7n^2-m^2>2+\frac{1}{m^2} \Rightarrow 7n^2>(m+\frac{1}{m})^2  \Rightarrow \sqrt{7}n-m>\frac{1}{m}$

[angleofdarkness]

Bài này có nhiều dạng được cập nhật trong một số đề thi, VD như là đề thi HSG 9 Tỉnh Thành Hóa năm 2012 - 2013:

 

Câu 3.2: Cho m,n là các số tự nhiên dương thỏa mãn $\sqrt{6}-\frac{m}{n}>0$. CMR $\sqrt{6}-\frac{m}{n}> \dfrac{1}{2mn}$