3 replies to this topic

[Tran Nho Duc]

$\sum \frac{a}{2b+1}\geq 1$

[Tran Nho Duc]

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh bất đẳng thức :

$\frac{a}{2b+1}+\frac{b}{2c+1}+\frac{c}{2a+1}\geq 1$

Edited by Tran Nho Duc, 05-03-2014 - 17:14.

[canhhoang30011999]

$\frac{a}{2b+1}= \sum \frac{a^{2}}{2ab+a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2\sum ab+\sum a}$

ta cần cm $(a+b+c)^{2}\geq 2\sum ab+\sum a$

$\Leftrightarrow \sum a^{2}\geq \sum a$

ta có $a^{2}+1\geq 2a$

$\Rightarrow \sum a^{2}+3\geq 2\sum a\geq \sum a+3$

$\Rightarrow \sum a^{2}\geq \sum a$

[lahantaithe99]

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh bất đẳng thức :

$\frac{a}{2b+1}+\frac{b}{2c+1}+\frac{c}{2a+1}\geq 1

 

Cách khác

 

Đặt $a=\frac{y}{x};b=\frac{z}{y};c=\frac{x}{z}$

 

Khi đó $VT=\frac{y^2}{2xz+xy}+\frac{z^2}{2xy+yz}+\frac{x^2}{2yz+zx}$

 

$\geq \frac{(x+y+z)^2}{3(xy+yz+xz)}\geq 1$ (theo bđt S.Vac)