Chủ đề này có 6 trả lời

[duongluan1998]

Cho a,b,c là số thực không âm

CMR

$(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ac+bc)(ab+ac+bc)^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongluan1998: 17-04-2014 - 20:00

[lahantaithe99]

Cho a,b,c là số thực không âm

CMR

$(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ac+bc)(ab+ac+bc)$

Không biết bài này thì dấu $=$ xảy ra khi nào, như thế nào  chứ em nghĩ hình như đề bài sai rồi

[duongluan1998]

Không biết bài này thì dấu $=$ xảy ra khi nào, như thế nào  chứ em nghĩ hình như đề bài sai rồi

Xin lỗi

Đã sửa lại đề

[lahantaithe99]

Cho a,b,c là số thực không âm

CMR

$(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ac+bc)(ab+ac+bc)^{2}$

Hơ hơ   tại sao đề sửa rồi mà mình vẫn k tìm đc dấu $=$ xảy ra khi nào?

Mình sai   hay đề sai tiếp ?

[duongluan1998]

Hơ hơ   tại sao đề sửa rồi mà mình vẫn k tìm đc dấu $=$ xảy ra khi nào?

Mình sai   hay đề sai tiếp ?

a=b=c=0 kìa )

[tungteng532000]

Cho a,b,c là số thực không âm

CMR

$(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ac+bc)(ab+ac+bc)^{2}$

Ta có : $(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}-(a^{2}+b^2+c^2+ab+bc+ca)(ab+bc+ca)^2=(\sum ab)^3+(\sum ab)^2(\sum a^2)+(\sum ab)(\sum a^2b^2)+a^2b^2c^2-(\sum ab)^3-(\sum ab)^2(\sum a^2)=(\sum ab)(\sum a^2b^2)+a^2b^2c^2$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 15-03-2016 - 00:52

[Nguyenhuyen_AG]

Cho a,b,c là số thực không âm

CMR

$(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ac+bc)(ab+ac+bc)^{2}$

 

Giả sử $c = \min\{a,b,c\}.$ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

\[a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ac+bc \leqslant \frac{1}{4}\left [ a+b+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ac+bc}{a+b} \right ]^2.\]

Như vậy ta chỉ cần chứng minh

\[(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2} \geqslant \frac{1}{4}\left [ a+b+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ac+bc}{a+b} \right ]^2(ab+bc+ca)^2,\]

hay là

\[2(a+b)(b+c)(c+a) \geqslant \left [ a+b+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ac+bc}{a+b} \right ](ab+bc+ca),\]

thu gọn thành

\[\frac{a^2(b^2+c^2)+c^2(a+b)(b-c)}{a+b} \geqslant 0.\]

Vậy ta có điều phải chứng minh.