Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * - 4 Bình chọn

$f(x)= -x^2+4px - p + 1$

psw

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 marsu

marsu

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 327 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP.HCM

Đã gửi 07-03-2006 - 15:56

Cho hàm số bậc hai $f(x)= -x^2+4px - p + 1$ . Gọi $S$ là diện tích tam giác có các đỉnh là giao điểm của parabol $y=f(x)$ với trục $Ox$ và đỉnh của parabol ấy . Tìm tất cả các số hữu tỷ $p$ sao cho $S$ là số nguyên
.



#2 The Gunner

The Gunner

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 30-07-2012 - 10:26

Em giải thứ ko bik có đúng ko :)
Trước hết ta có công thức tính diện tích tam giác ABC với $A(x_a,y_a), B(x_b,y_b),C(x_c,y_c)$ là
$S_{ABC}=\frac{1}{2}|(x_c-x_a)(y_c-y_a)-(x_b-x_a)(y_c-y_a)|$
Đo đó trong bài toán này ta áp dụng với A là đỉnh của parabol có tọa độ $x_a=2p; y_a=4p^2-p+1$
Còn $B,C$ là giao điểm của parabol với trục $Ox$ nên $y_b=y_c=0$ còn $x_b,x_c$ là nghiệm của pt $ x^2-4px+p-1=0$
Ta có $|x_b-x_c|=2\sqrt{4p^2-p+1}$ (theo đl Viet)
Bây giờ Ta có $S_{ABC}=\frac{1}{2}|(x_c-2p)(4p^2-p+1)-(x_b-2p)(4p^2-p+1)|=\frac{1}{2}|(4p^2-p+1)(x_c-x_b)|=(4p^2-p+1)\sqrt{4p^2-p+1}$
Ta thấy rằng nếu $\sqrt{4p^2-p+1}=\frac{m}{n}$ với $(m,n)=1$ thì $S_{ABC}=\frac{m^3}{n^3} \notin \mathbb{Z}$
Do đó ta cần $4p^2-p+1=k^2$ ( với $k \in \mathbb{N}$)
xem đây là pt bậc 2 nghiệm hữu tỉ $p$ thì ta cần tìm $k$ sao cho pt có nghiệm hữu tỉ suy ra
$\Delta=16k^2-15$ là SCP tức $16k^2-15=t^2$ ($t \in \mathbb{N}$)
ta được $(4k-t)(4k+t)=15$
vì $k,t \geq 0$ và $4k >t$ nên ta chỉ xét hai trường hợp $15=3.5=1.15$ lúc này ta tìm được $k$ lần lượt bằng $k=1;k=2$ tương ứng $t=1,t=7$
thì $\Delta_1=t_1^2=1; \Delta_2=t_2^2=49$
Do đó các giá trị của $p$ cần tìm là
$p_1=0$
$p_2=4$
$p_3=1$
$p_4=-\frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi The Gunner: 30-07-2012 - 10:27

Những ngày cuối cùng còn học toán

winwave1995

#3 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-07-2012 - 11:22

Gần chuẩn rồi! :D Tuy nhiên cách làm không được THCS cho lắm!
Khuyến khích các bạn THCS tham gia (Dùng tam thức bậc 2 và định lý Viète để giải!)
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#4 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1454 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-07-2012 - 11:39

Gần chuẩn rồi! :D Tuy nhiên cách làm không được THCS cho lắm!
Khuyến khích các bạn THCS tham gia (Dùng tam thức bậc 2 và định lý Viète để giải!)

Cách giải trên là gần với THCS rồi, dùng tam thức bậc hai có vẻ lại xa đấy! :mellow:

#5 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-07-2012 - 11:40

Tính diện tích tam giác bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng mà Định nói là THCS sao?
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#6 duongchelsea

duongchelsea

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 142 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-07-2012 - 11:52

em nghĩ chỉ cần sử dụng công thức tính diện tích tam giác $S_{ABC}=\frac{1}{2}(BC)(AH)$ là bài của The Gunner ok rồi :icon6:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongchelsea: 30-07-2012 - 11:54


#7 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-07-2012 - 01:17

Kết luận

...
$p_1=0$
$p_2=4$
$p_3=1$
$p_4=-\frac{3}{4}$

Có chút nhầm lẫn! Các giá trị $p$ cần tìm là $0,\dfrac{1}{4},1,-\dfrac{3}{4}$ :P

Bài này chưa cần phải áp dụng công thức tính diện tích tam giác bằng phương pháp vecto như trên, bởi vì các đỉnh của tam giác quá đặc biệt!
Gọi $A$, $B$ là các điểm giao của parabol với trục hoành
$C$ là đỉnh của parabol, đường cao $CH$ song song với $Oy$
Như vậy $CH=\max f(x)$

Ta có: $f(x)=ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a}\le -\dfrac{\Delta}{4a}=CH$ với $(a<0)$
$AB=\left|x_2-x_1\right|=-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{a} \quad $ (Viète)
Do đó $S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2} AB.CH=\dfrac{\Delta\sqrt{\Delta}}{8a^2}$

Với $f(x)=-x^2+4px-p+1$ thì ta có $\Delta=4(4p^2-p+1)$ và $a=-1$
Suy ra:
$S_{\triangle ABC}=(4p^2-p+1)\sqrt{4p^2-p+1}$

Tới đây thì tiếp tục như The Gunner :D
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#8 hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:TAEKWONDO

Đã gửi 31-07-2012 - 14:24

Cho hàm số bậc hai $f(x)= -x^2+4px - p + 1$ . Gọi $S$ là diện tích tam giác có các đỉnh là giao điểm của parabol $y=f(x)$ với trục $Ox$ và đỉnh của parabol ấy . Tìm tất cả các số hữu tỷ $p$ sao cho $S$ là số nguyên
.


Xin chế bài thành bài sau:
1.Cho hàm số bậc hai $f(x)= -x^2+4px - p + 2012$ . Gọi $S$ là diện tích tam giác có các đỉnh là giao điểm của parabol $y=f(x)$ với trục $Ox$ và đỉnh của parabol ấy . Tìm tất cả các số hữu tỷ $p$ sao cho $S$ là số nguyên.

2.Cho hàm số bậc hai $f(x)= ax^2+bx+\frac{2013}{a}$($a\neq 0;a \in Q$) . Gọi $S$ là diện tích tam giác có các đỉnh là giao điểm của parabol $y=f(x)$ với trục $Ox$ và đỉnh của parabol ấy . Tìm tất cả các số nguyên $b$ sao cho $S$ là hữu tỷ

_________________________________
hxthanh: mở rộng 2 tìm $p$ nào vậy em? ^^
hoangtrunghieu22101997: Đã sửa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrunghieu22101997: 31-07-2012 - 20:31

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#9 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-08-2012 - 09:04

Chấm điểm:
The Gunner: 10 điểm
hoangtrunghieu22101997: 5 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#10 tranxuantu1995

tranxuantu1995

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kiên Giang

Đã gửi 05-01-2013 - 22:32

Theo mình thì như đơn giản hơn: (các bạn xem file đính kèm dùm mình, cho ý kiến nha)
File gửi kèm  Với mỗi p.doc   21.5K   180 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranxuantu1995: 05-01-2013 - 22:37

Toán học tính toán, là học toán làm toán!


#11 hungqwer99999999

hungqwer99999999

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 20-12-2014 - 16:20

bai nay de danh cho hs gioi lop 1







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh