Chủ đề này có 8 trả lời

[Dam Uoc Mo]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn: $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2.$ CMR:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 4(a+b+c).$

(Chuyên Thái Bình 2013-2014)

[megamewtwo]

Mình làm cách này không biết có đúng không, tại vì không đụng đến giả thiết.

Giải:

BĐT đã cho

$\Leftrightarrow \frac{1-4a^2}{a}+\frac{1-4b^2}{b}+\frac{1-4c^2}{c}\geq 0$

Ta chứng minh BĐT sau 

$\frac{1-4a^2}{a}\geq 4-8a\Leftrightarrow (2a-1)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Tương tự: 

$\frac{1-4b^2}{b}\geq 4-8b$

$\frac{1-4c^2}{c}\geq 4-8c$

Cộng lại ta có đpcm

Dấu "="$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}$(thỏa mãn giả thiết)

sai rồi bạn ơi

công lại chả ra cái gì 

không dùng dữ kiện thì làm sao làm được

[lovemathforever99]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn: $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2.$ CMR:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 4(a+b+c).$

(Chuyên Thái Bình 2013-2014)

 

GT $\Rightarrow 2\geq \frac{9}{a+b+c+3}\Rightarrow a+b+c\geq \frac{3}{2}$

 

BĐT cần CM $\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 4abc(a+b+c)$

$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc\geq 4abc(a+b+c)^{2}-abc$

$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq abc(4(a+b+c)^{2}-1)$ 

 

Mặt khác  $4(a+b+c)^{2}-1\geq 8$ (đúng vì $a+b+c\geq \frac{3}{2}$)

 

Nhân 2 vế BĐT trên ta được $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$(đúng)

 

Vậy ta có đpcm

 

 

__________

 

Sr mọi người, mình làm sai rồi - _ -

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemathforever99: 20-05-2014 - 23:06

[huyphamvan]

Bài giải trên hình như sai.
chứng minh $$(a+b)(b+c)(c+a) \geq abc[4(a+b+c)^{2}-1]$$
thì phải CM: $$ 4(a+b+c)^{2} -1 \leq 8 $$ 

[megamewtwo]

GT $\Rightarrow 2\geq \frac{9}{a+b+c+3}\Rightarrow a+b+c\geq \frac{3}{2}$

 

BĐT cần CM $\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 4abc(a+b+c)$

$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc\geq 4abc(a+b+c)^{2}-abc$

$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\geq abc(4(a+b+c)^{2}-1)$ 

 

Mặt khác  $4(a+b+c)^{2}-1\geq 8$ (đúng vì $a+b+c\geq \frac{3}{2}$)

 

Nhân 2 vế BĐT trên có đpcm

BDt hinh như ngược dấu rồi mà

[bangbang1412]

Bài này thực ra là đưa về bộ $(a,b,c)=(\frac{x}{y+z},\frac{y}{x+z},\frac{z}{x+y})$ để thỏa mãn điều kiện bài toán .

Khi đó bất đẳng thức tương đương là

                                        $\sum( \frac{x}{y}+\frac{y}{x}) \geq 4\sum\frac{x}{y+z}$

Dễ dàng để chứng minh nốt .

[Dam Uoc Mo]

Bài này thực ra là đưa về bộ $(a,b,c)=(\frac{x}{y+z},\frac{y}{x+z},\frac{z}{x+y})$ để thỏa mãn điều kiện bài toán .

Khi đó bất đẳng thức tương đương là

                                        $\sum( \frac{x}{y}+\frac{y}{x}) \geq 4\sum\frac{x}{y+z}$

Dễ dàng để chứng minh nốt .

Cụ thể từ đầu đến cuối đi Bằng.Tớ chưa rõ pp này nên ko rõ cách của cậu.CM luôn cái bđt kia nhá,tớ ko cm đc.

[lahantaithe99]

Cụ thể từ đầu đến cuối đi Bằng.Tớ chưa rõ pp này nên ko rõ cách của cậu.CM luôn cái bđt kia nhá,tớ ko cm đc.

Cái đó hiển nhiên theo BĐT S.Vac rồi cậu

$\frac{x}{y}+\frac{x}{z}\geqslant \frac{4x}{y+z}$

Làm tương tự thì sẽ có điều trên

[phamquanglam]

Xem ở đây: http://diendantoanho...c2/#entry504197