Chủ đề này có 4 trả lời

[19kvh97]

TÌm tất cả các hàm số $f(x)$ liên tục $f:\mathbb{R}_{+}^{*}\rightarrow \mathbb{R}_{+}^{*}$ thỏa mãn:

 

$\left\{\begin{matrix}f(1)=5 &  & \\ f(x^2)-x^2f(x)=\frac{4}{x^2}-4x, \vee x>0 &  & \end{matrix}\right.$

[Tru09]

Lời giải :

Đặt $g(x) =f(\frac{1}{x}) \Rightarrow g(1) =5$

$\Rightarrow g(\frac{1}{x^2})-\frac{4}{x^2} =x^2(g(\frac{1}{x})-\frac{4}{x})$

Đặt $g(x)-4x =t(\frac{1}{x}) \Rightarrow t(1)=1$

$\Rightarrow t(x^2) =x^2t(x)$

$\Rightarrow \frac{t(x^2)}{x^4} =\frac{t(x)}{x^2}$

Đặt $k(x) =\frac{t(x)}{x^2} \Rightarrow k(1) =1$

$\Rightarrow k(x^2) =k(x) $

$\Rightarrow k(x) =k(x^{\frac{1}{2}}) =... = k(x^{\frac{1}{2^n}})$

Cho n chạy đến dương vô cùng 

$\Rightarrow k(x) =k(1) =1$

$\Rightarrow t(x) =x^2$

$\Rightarrow g(x)  =\frac{1}{x^2}+4x$

$\Rightarrow f(x) =x^2 +\frac{4}{x}$

Thử lại ...

 

[19kvh97]

Lời giải :

Đặt $g(x) =f(\frac{1}{x}) \Rightarrow g(1) =5$

$\Rightarrow g(\frac{1}{x^2})-\frac{4}{x^2} =x^2(g(\frac{1}{x})-\frac{4}{x})$

Đặt $g(x)-4x =t(\frac{1}{x}) \Rightarrow t(1)=1$

$\Rightarrow t(x^2) =x^2t(x)$

$\Rightarrow \frac{t(x^2)}{x^4} =\frac{t(x)}{x^2}$

Đặt $k(x) =\frac{t(x)}{x^2} \Rightarrow k(1) =1$

$\Rightarrow k(x^2) =k(x) $

$\Rightarrow k(x) =k(x^{\frac{1}{2}}) =... = k(x^{\frac{1}{2^n}})$

Cho n chạy đến dương vô cùng 

$\Rightarrow k(x) =k(1) =1$

$\Rightarrow t(x) =x^2$

$\Rightarrow g(x)  =\frac{1}{x^2}+4x$

$\Rightarrow f(x) =x^2 +\frac{4}{x}$

Thử lại ...

cho t hỏi chút 

t đặt $k=\log_2{x}$ rồi rút đk hàm mới $g(2k)=g(k)$ suy ra $g(k)=g(\frac{k}{2^n})$ rồi cho $n$ đến vô cùng suy ra $g(k)=c=Const$ 

thế trở lại pt hàm ban đầu để suy ra $c$ có đk ko nhỉ???

[Tru09]

Bạn rút hàm mới như thế nào vậy :v , viết rõ được không

Nhưng mà nếu cho n đến vô cùng mà g(0) không xác định thì theo mình vẫn chưa suy ra g(k) là hàm hằng được thì phải :S ( nó có thể là hàm tuần hoàn )

[19kvh97]

Bạn rút hàm mới như thế nào vậy :v , viết rõ được không

Nhưng mà nếu cho n đến vô cùng mà g(0) không xác định thì theo mình vẫn chưa suy ra g(k) là hàm hằng được thì phải :S ( nó có thể là hàm tuần hoàn )

là zậy nè, t cũng thu đk hàm $t(x)$ như bạn rùi t đặt 

$\left\{\begin{matrix}h(x)=\frac{t(x)}{x^2} &  & \\x=2^k &  & \end{matrix}\right.$ (do $x>0$)

khi đó thu đk hàm $g(k)=g(2k)$ như t nói, hic vậy ổn ko bạn ????