Chủ đề này có 2 trả lời

[19kvh97]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, thỏa mãn

$f(x+f(y))=f^2(y)+2xf(y)+f(-x), \vee x,y \epsilon \mathbb{R}$

[Juliel]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, thỏa mãn

$f(x+f(y))=f^2(y)+2xf(y)+f(-x), \vee x,y \epsilon \mathbb{R}$

Nhận thấy rằng hàm $f\equiv 0$ thỏa mãn bài ra. Gỉa sử $\exists a\in \mathbb{R}:f(a)\neq 0$. Trong $(1)$ cho $y=a$ :

$$f(x+f(a))-f(-x)=f^2(a)+2xf(a),\;\forall x\in \mathbb{R}$$

Từ đây suy ra hàm $f(x+f(a))-f(-x)$ là toàn ánh. Do đó với mọi số thực $t$ thì luôn tồn tại các số thực $u,v$ sao cho :

$$t=f(u)-f(v)$$

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $-f(x)$ :

$$f(f(y)-f(x))=f^2(y)-2f(x)f(y)+f(f(x)),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Lấy $x=y$ được $f(f(x))=f^2(x)+f(0),\;\forall x\in \mathbb{R}$

Từ đó dẫn đến :

$$f(f(y)-f(x))=f^2(y)-2f(x)f(y)+f^2(x)+f(0)=(f(y)-f(x))^2+f(0),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Từ đó mà :

$$f(t)=f(f(u)-f(v))=(f(u)-f(v))^2+f(0)=t^2+c,\;\forall t\in \mathbb{R}$$

Thay vào $(1)$ tìm được $c=0$.

Các hàm số thỏa mãn bài toán là :

$$f(x)=0,\;\forall x\in \mathbb{R}$$

$$f(x)=x^2,\;\forall x\in \mathbb{R}$$

Bài này hình như chọn đội tuyển Hà Nội

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 11-06-2014 - 21:46

[19kvh97]

 

Nhận thấy rằng hàm $f\equiv 0$ thỏa mãn bài ra. Gỉa sử $\exists a\in \mathbb{R}:f(a)\neq 0$. Trong $(1)$ cho $y=a$ :

$$f(x+f(a))-f(-x)=f^2(a)+2xf(a),\;\forall x\in \mathbb{R}$$

Từ đây suy ra hàm $f(x+f(a))-f(-x)$ là toàn ánh. Do đó với mọi số thực $t$ thì luôn tồn tại các số thực $u,v$ sao cho :

$$t=f(u)-f(v)$$

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $-f(x)$ :

$$f(f(y)-f(x))=f^2(y)-2f(x)f(y)+f(f(x)),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Lấy $x=y$ được $f(f(x))=f^2(x)+f(0),\;\forall x\in \mathbb{R}$

Từ đó dẫn đến :

$$f(f(y)-f(x))=f^2(y)-2f(x)f(y)+f^2(x)+f(0)=(f(y)-f(x))^2+f(0),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Từ đó mà :

$$f(t)=f(f(u)-f(v))=(f(u)-f(v))^2+f(0)=t^2+c,\;\forall t\in \mathbb{R}$$

Thay vào $(1)$ tìm được $c=0$.

Các hàm số thỏa mãn bài toán là :

$$f(x)=0,\;\forall x\in \mathbb{R}$$

$$f(x)=x^2,\;\forall x\in \mathbb{R}$$

Bài này hình như chọn đội tuyển Hà Nội

 

uk giờ mới nhận ra, mà cái đoạn đặt $f(a)=0$ đã cm toàn ánh đâu nhỉ, bạn chỉ rõ giúp vs

P/s: hic xin lỗi nhìn nhầm , đã hiểu ,....... chẳng làm nào xóa đk

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 19kvh97: 11-06-2014 - 22:36