Chủ đề này có 7 trả lời

[blackcorbies]

Bài 1: Cho $a,b,c$ là 3 số dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$

Chứng minh:

$\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\leq1$

Bài 2: Cho $a,b,c$ là 3 số dương thoả mãn $a+b+c=3$

Chứng minh: $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1} \geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 20-07-2014 - 14:09

[dshung1997]

Bài 1: Cho $a,b,c$ là 3 số dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$

Chứng minh:

$\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\leq1$

Bài 1:

Ta có:

 $1-\frac{2}{4-x} = \frac{4-x-2}{4-x} = \frac{2-x}{4-x} = \frac{4-x^{2}}{(2+x)(4-x)} \geq \frac{4-x^{2}}{9}$      ($(2+x)(4-x) \leq 9 \Leftrightarrow -(x-1)^{2} \leq 0$ đúng $\forall x \in \mathbb{R}$

$\Rightarrow \frac{1}{4-x} \leq \frac{5+x^{2}}{18}$

Lần lượt thay $x=\sqrt{ab}; x=\sqrt{bc}; x=\sqrt{ca}$   rồi cộng 3 bđt vừa rồi tdduwocwj:

$P=\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}} \leq \frac{15+ab+bc+ca}{18} \leq \frac{15+a^{2}+b^{2}+c^{2}}{18} \leq  \frac{15+3}{18} = 1$

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  

[themanphi]

goodluck

File gửi kèm

•  Bµi2.doc   36.5K   96 Số lần tải

[blackcorbies]

goodluck

bạn xem lại giúp mình đoạn 3-P phải bằng cái này chứ nhỉ $\sum{\frac{a^2b}{ab+1}}$

[lahantaithe99]

 

Bài 2: Cho $a,b,c$ là 3 số dương thoả mãn $a+b+c=3$

Chứng minh: $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1} \geq \frac{3}{2}$

 

Bài 2: Áp dụng BĐT Cauchy

 

$Vt=\sum (a-\frac{a^2b}{ab+1})=3-\sum \frac{a^2b}{ab+1}\geqslant 3-\frac{\sum \sqrt{a^3b}}{2}$

 

Đặt $(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c})=(x,y,z)\Rightarrow x^2+y^2+z^2$

 

Ta cần chứng minh $x^3y+y^3z+z^3x\leqslant 3\Leftrightarrow 3(x^3y+y^3z+z^3x)\leqslant (x^2+y^2+z^2)^2$ $(*)$

 

BĐT này tương đương với $\sum\frac{(x^2-y^2-xy-zx+2yz)^2}{2}\geqslant 0$ (luôn đúng)

 

Do đó $Vt\geqslant \frac{3}{2}$

 

Dấu $=$ khi $a=b=c=1$

 

----------------------

 

P/s: BĐT $(*)$ rất nổi tiếng nhưng mình quên béng mất nó tên là gì 

[blackcorbies]

 

Ta cần chứng minh $x^3y+y^3z+z^3x\leqslant 3\Leftrightarrow 3(x^3y+y^3z+z^3x)\leqslant (x^2+y^2+z^2)^2$ $(*)$

 

BĐT này tương đương với $\sum\frac{(x^2-y^2-xy-zx+2yz)^2}{2}\geqslant 0$ (luôn đúng)

Bạn có thể nói qua cho mình biết sao bạn có thể biến đổi tương đương về 1 cái bình phương "phức tạp" như vậy không? Chỉ là phân tích đơn thuần hay là có bí quyết gì khác vậy?

[lahantaithe99]

Bạn có thể nói qua cho mình biết sao bạn có thể biến đổi tương đương về 1 cái bình phương "phức tạp" như vậy không? Chỉ là phân tích đơn thuần hay là có bí quyết gì khác vậy?

Hì cũng chả có bí quyết gì đâu ạ. Nó là một BĐT nổi tiếng nên có khá nhiều lời giải . Anh có thể " sớt" trên mạng hay tìm trong những sách BĐT người ta cũng đề cập đến

[blackcorbies]

Cám ơn b nhé! Có lẽ t phải tham khảo thêm nhiều.