3 replies to this topic

[Dam Uoc Mo]

1,Cho $0\leq x\leq y\leq 1;2x+y\leq 2. \\ CMR: 2x^{2}+y^{2}\leq \frac{3}{2}.$

2,Cho x,y,z>0 và $x^{3}+y^{3}+z^{3}=1. \\ CMR: \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{1-y^{2}}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{1-z^{2}}}\geq 2.$

 

[Yagami Raito]

1,Cho $0\leq x\leq y\leq 1;2x+y\leq 2. \\ CMR: 2x^{2}+y^{2}\leq \frac{3}{2}.$

2,Cho x,y,z>0 và $x^{3}+y^{3}+z^{3}=1. \\ CMR: \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{1-y^{2}}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{1-z^{2}}}\geq 2.$

Bài 1 xem tại đây

[datmc07061999]

1,Cho $0\leq x\leq y\leq 1;2x+y\leq 2. \\ CMR: 2x^{2}+y^{2}\leq \frac{3}{2}.$

2,Cho x,y,z>0 và $x^{3}+y^{3}+z^{3}=1. \\ CMR: \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{1-y^{2}}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{1-z^{2}}}\geq 2.$

2)Ta xét hiệu: $\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}-2x^{3}=\frac{x^{2}-2x^{3}\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{x^{2}(1-2x\sqrt{1-x^{2}})}{\sqrt{1-x^{2}}}\geq 0$.

Vì $2x\sqrt{1-x^{2}}\leq x^{2}+1-x^{2}=1$.

Tương tự ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{1-x^{2}} & \\y=\sqrt{1-y^{2}} & \\ z=\sqrt{1-z^{2}} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{\frac{1}{2}}$.

Vậy ko có trường hợp dấu "=".

P/s: Các bạn like ủng hộ mình nha...

[Yagami Raito]

Cách khác $ \sum_{cyc}\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sum_{cyc}\frac{2x^{3}}{2x\sqrt{1-x^{2}}}\geq\sum_{cyc}2x^3=2 $