Chủ đề này có 3 trả lời

[thuhanhthuhang]

Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn xy+yz+zx=1. C/m
P=$\bg_white \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}}+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{3}{2}$

[thuhanhthuhang]

cái chữ bgwhite gì đấy là lỗi đấy ạ. không liên quan gì đến bài đâu nha.

[davidsilva98]

Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn xy+yz+zx=1. C/m
P=$\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}}+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{3}{2}$

 

Do $xy+yz+zx=1$ nên tồn tại $x=cotA;y=cotB;z=cotC$ với $A,B,C$ là $3$ góc của tam giác $ABC$ 

 

Dẫn đến $\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{cotA}{\sqrt{cot^{2}A+1}}=\frac{cotA}{\frac{1}{sinA}}=cosA$

 

Tương tự: $\frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}}=cosB;\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}=cosC$

 

Ta cần chứng minh: $cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}$

 

Thật vậy: 

                              $cosA+cosB+cosC=2sin\frac{C}{2}. cos\frac{A-B}{2}+1-2\left ( sin\frac{C}{2} \right )^{2}$

 

                            $\Leftrightarrow$$cosA+cosB+cosC=2cos\frac{A+B}{2}.cos\frac{A-B}{2}+1-2\left ( sin\frac{C}{2} \right )^{2}$

                              

                            $\Leftrightarrow$$cosA+cosB+cosC=-2\left ( sin\frac{C}{2} -\frac{1}{2}cos\frac{A-B}{2}\right )^{2}-\frac{1}{2}\left ( cos\frac{A-B}{2} \right )^{2}+1\leq \frac{3}{2}$

 

Vậy bài toán được chứng minh

[phamquanglam]

Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn xy+yz+zx=1. C/m
P=$\bg_white \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}}+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{3}{2}$

Sao phải dài dòng thế?????

Ta có: $\sqrt{x^{2}+1}=\sqrt{x^{2}+xy+yz+xz}=\sqrt{(x+y)(x+z)}\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}=\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}\leq \frac{1}{2}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})\Rightarrow \sum \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\leq \frac{1}{2}.(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x})=\frac{3}{2}$

Vậy BĐT đã được chứng minh xong!!!!!!!!11