Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn xy+yz+zx=1. C/m
P=$\bg_white \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}}+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{3}{2}$
Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn xy+yz+zx=1. C/m
#1
Đã gửi 31-07-2014 - 21:28
- phamquanglam yêu thích
#2
Đã gửi 31-07-2014 - 21:37
cái chữ bgwhite gì đấy là lỗi đấy ạ. không liên quan gì đến bài đâu nha.
#3
Đã gửi 31-07-2014 - 23:14
Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn xy+yz+zx=1. C/m
P=$\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}}+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{3}{2}$
Do $xy+yz+zx=1$ nên tồn tại $x=cotA;y=cotB;z=cotC$ với $A,B,C$ là $3$ góc của tam giác $ABC$
Dẫn đến $\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{cotA}{\sqrt{cot^{2}A+1}}=\frac{cotA}{\frac{1}{sinA}}=cosA$
Tương tự: $\frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}}=cosB;\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}=cosC$
Ta cần chứng minh: $cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}$
Thật vậy:
$cosA+cosB+cosC=2sin\frac{C}{2}. cos\frac{A-B}{2}+1-2\left ( sin\frac{C}{2} \right )^{2}$
$\Leftrightarrow$$cosA+cosB+cosC=2cos\frac{A+B}{2}.cos\frac{A-B}{2}+1-2\left ( sin\frac{C}{2} \right )^{2}$
$\Leftrightarrow$$cosA+cosB+cosC=-2\left ( sin\frac{C}{2} -\frac{1}{2}cos\frac{A-B}{2}\right )^{2}-\frac{1}{2}\left ( cos\frac{A-B}{2} \right )^{2}+1\leq \frac{3}{2}$
Vậy bài toán được chứng minh
- phamquanglam yêu thích
#4
Đã gửi 31-07-2014 - 23:23
Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn xy+yz+zx=1. C/m
P=$\bg_white \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}}+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{3}{2}$
Sao phải dài dòng thế?????
Ta có: $\sqrt{x^{2}+1}=\sqrt{x^{2}+xy+yz+xz}=\sqrt{(x+y)(x+z)}\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}=\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}\leq \frac{1}{2}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})\Rightarrow \sum \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\leq \frac{1}{2}.(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x})=\frac{3}{2}$
Vậy BĐT đã được chứng minh xong!!!!!!!!11
- davidsilva98 và hoang tu mua 98 thích
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh