Chủ đề này có 4 trả lời

[Dam Uoc Mo]

Cho a,b,c>0.CMR: $\frac{a+b}{a+7b+c}+\frac{b+c}{b+7c+a}+\frac{a+c}{c+7a+b}\geq \frac{2}{3}$

[phamquanglam]

Cho a,b,c>0.CMR: $\frac{a+b}{a+7b+c}+\frac{b+c}{b+7c+a}+\frac{a+c}{c+7a+b}\geq \frac{2}{3}$

Từ điều phải chứng minh ta có điều tương đương sau:

$\sum (\frac{a+b}{a+7b+c}-\frac{1}{12})\geq 5\Leftrightarrow \sum \frac{11a+5b-c}{a+7b+c}\geq 5$

TH1:

Giả sử 3 số đều không âm.

Ta áp dụng Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{11a+5b-c}{a+7b+c}\geq \frac{(\sum (11a+5b-c))^{2}}{\sum (11a+5b-c)(a+7b+c)}=\frac{225(a+b+c)^{2}}{45(a^{2}+b^{2}+c^{2})+90(ab+bc+ca)}\geq 5$

Vậy BĐT đã được chứng minh!

TH2:

Trong 3 số có ít nhất 1 số âm.

Giả sử số đó là $11b+5c-a$ âm.

Khi đó ta có:

$\frac{a+b}{a+7b+c}-\frac{2}{3}=\frac{a-11b-2c}{3(a+7b+c)}> \frac{a-11b-5c}{3(a+7b+c)}\geq 0\Rightarrow \frac{a+b}{a+7b+c}> \frac{2}{3}\Rightarrow \sum \frac{a+b}{a+7b+c}\geq \frac{2}{3}$

[Kool LL]

Cho a,b,c>0.CMR: $\frac{a+b}{a+7b+c}+\frac{b+c}{b+7c+a}+\frac{a+c}{c+7a+b}\geq \frac{2}{3}$

 

Từ điều phải chứng minh ta có điều tương đương sau:

$\sum (\frac{a+b}{a+7b+c}-\frac{1}{12})\geq \frac{5}{12}$$\Leftrightarrow \sum \frac{11a+5b-c}{a+7b+c}\geq 5$

TH1:

Giả sử 3 số đều không âm.

Ta áp dụng Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{11a+5b-c}{a+7b+c}\geq$$\frac{(\sum (11a+5b-c))^{2}}{\sum (11a+5b-c)(a+7b+c)}=\frac{225(a+b+c)^{2}}{45(a^{2}+b^{2}+c^{2})+90(ab+bc+ca)}= 5$

Vậy BĐT đã được chứng minh!

TH2:

Trong 3 số có ít nhất 1 số âm.

Giả sử số đó là $11b+5c-a$ âm.

Khi đó ta có:

$\frac{a+b}{a+7b+c}-\frac{2}{3}$$=\frac{a-11b-2c}{3(a+7b+c)}> \frac{a-11b-5c}{3(a+7b+c)}\geq 0\Rightarrow$$\frac{a+b}{a+7b+c}> \frac{2}{3}$$\Rightarrow \sum \frac{a+b}{a+7b+c}\geq \frac{2}{3}$

 

Thảo luận một tí :

• Trong bài giải của bạn @phamquanglam ở trên, mấu chốt là ở chỗ tìm được con số $\frac{1}{12}$ để phần sau có được đẳng thức đẹp $\frac{(\sum (11a+5b-c))^{2}}{\sum (11a+5b-c)(a+7b+c)}=\frac{225(a+b+c)^{2}}{45(a^{2}+b^{2}+c^{2})+90(ab+bc+ca)}= 5$. Với bài toán tồng quát thì không dễ tìm đâu !!! (Bạn thử xem)

 

• Bài toán tổng quát hơn : $\boxed{\text{Cho }a,b,c>0. \text{ CMR: } \frac{a+b}{a+kb+c}+\frac{b+c}{b+kc+a}+\frac{a+c}{c+ka+b}\geq \frac{6}{k+2}}$ $(\forall k\in\mathbb{R}, \ge2)$

NX : Bài toán TQ vẫn đúng với $k=0$ ; $k=1$.

• Nếu $2\le k\le 4$ thì $\frac{a+b}{a+kb+c}<1\le\frac{6}{k+2}$. Như vậy cách giải trên không thể giải quyết bài toán tổng quát (ở TH2).
• Mình có cách giải khác để giải quyết trọn vẹn bài toán tổng quát. Nào mời mọi người thử sức nhé !

[Kool LL]

Bài toán tổng quát hơn : $\boxed{\text{Cho }a,b,c>0. \text{ CMR: } \frac{a+b}{a+kb+c}+\frac{b+c}{b+kc+a}+\frac{a+c}{c+ka+b}\geq \frac{6}{k+2}}$ $(\forall k\in\mathbb{R}, \ge2)$

[phamquanglam]

Bài toán tổng quát hơn : $\boxed{\text{Cho }a,b,c>0. \text{ CMR: } \frac{a+b}{a+kb+c}+\frac{b+c}{b+kc+a}+\frac{a+c}{c+ka+b}\geq \frac{6}{k+2}}$ $(\forall k\in\mathbb{R}, \ge2)$

Tất cả chuyển hết sang bên này! Mình lập 1 topic về bài toán tổng quát này!!!!!

http://diendantoanho...rz/#entry517519