Chủ đề này có 6 trả lời

[thuhanhthuhang]

Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn x+y+z=xyz
C/m $\frac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^{2}}}{y}+\frac{1+\sqrt{1+z^{2}}}{z}\leq xyz$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuhanhthuhang: 08-08-2014 - 21:11

[Hoang Tung 126]

Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn x+y+z=xyz
C/m $\frac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^{2}}}{y}+\frac{1+\sqrt{1+z^{2}}}{z}\leq xyz$

Ta có $\sum \frac{1+\sqrt{x^2+1}}{x}=\sum \frac{1+\sqrt{x^2.\frac{x+y+z}{xyz}+1}}{x}=\sum \frac{1+\sqrt{\frac{(x+y)(x+z)}{yz}}}{x}=\sum \frac{\sqrt{yz}+\sqrt{(x+y)(x+z)}}{x\sqrt{yz}}=\frac{\sum yz+\sum \sqrt{yz(x+y)(x+z)}}{xyz}\leq \frac{\sum yz+\sum \frac{y(x+z)+z(x+y)}{2}}{xyz}=\frac{3\sum xy}{xyz}\leq \frac{(\sum x)^2}{xyz}=\frac{(xyz)^2}{xyz}=xyz$

[lehoangphuc1820]

Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn x+y+z=xyz
C/m $\frac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^{2}}}{y}+\frac{1+\sqrt{1+z^{2}}}{z}\leq xyz$

Ta có: $\frac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{x}=\frac{2+\sqrt{4(1+x^{2})}}{2x}\leq \frac{2+\frac{4+(1+x^2)}{2}}{2x}=\frac{9+x^2}{4x}$

Tương tự ta có:$\frac{1+\sqrt{1+y^{2}}}{x}\leq \frac{9+y^2}{4y}$ ; $\frac{1+\sqrt{1+z^{2}}}{z}\leq \frac{9+z^2}{4z}$

$\Rightarrow \sum \frac{1+\sqrt{1+x^{2}}}{x}\leq \sum \frac{9+x^2}{4x}=\frac{9(xy+yz+xz)+xyz(x+y+z)}{4xyz}\leq \frac{9.\frac{(x+y+z)^2}{3}+(xyz)^2}{4xyz}=xyz$

Dấu bằng khi $x=y=z=\sqrt[]{3}$

[hngmcute]

Đặt $a=\frac{1}{x}$... $\Rightarrow ab+bc+ca=1$

ycbt $\Leftrightarrow \sum \frac{1+\sqrt{{1}+\frac{1}{a^2}}}{a}\leq\frac{1}{abc}$

 

$\Leftrightarrow \sum a + \sum \sqrt{a^2+1}\leq\frac{1}{abc}$

 

Ta có $VT = \sum a + \sum \sqrt{(c+a)(a+b)}$

 

$\leq 3(a+b+c)$

 

$\leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{abc}$ 

$=\frac{1}{abc}$

 

Dấu "$=$" $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hngmcute: 27-11-2023 - 21:58

[nguyenhuybao06]

 

$\leq 3(a+b+c)$

 

$\leq \frac{ab+bc+ca}{abc}$ (Schur)

$=\frac{1}{abc}$

 

 

Đoạn này hình như đâu phải hệ quả của Schur đâu ta, nếu đúng ra thì theo AM-GM có $3(a+b+c)\leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{abc}=\frac{1}{abc}$. Nhưng không sao, lời giải có vẻ hơi nhầm ở đoạn đấy thôi, còn lại thì tuyệt. 

[hngmcute]

Đoạn này hình như đâu phải hệ quả của Schur đâu ta, nếu đúng ra thì theo AM-GM có $3(a+b+c)\leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{abc}=\frac{1}{abc}$. Nhưng không sao, lời giải có vẻ hơi nhầm ở đoạn đấy thôi, còn lại thì tuyệt. 

vâng em quên ghi mũ hai nhưng dù sao đó cũng không phải hệ quả của schur(e nhầm). em xin lỗi

[nguyenhuybao06]

vâng em quên ghi mũ hai nhưng dù sao đó cũng không phải hệ quả của schur(e nhầm). em xin lỗi

Không sao đâu bạn, lời giải của bạn hay mà.