Chủ đề này có 4 trả lời

[conankid98]

cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=\sqrt[]{5}$ . Tìm max của

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 06-10-2014 - 17:18

[deathavailable]

Bài trong báo THTT nhé bạn  

[conankid98]

thì cô  mình mới ra nên chưa có hướg

[Nguyentiendung9372]

Đặt $P = \left| {\prod {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)} } \right|$

Ta chứng minh BĐT mạnh hơn sau ${P^2} \le 5$

Thật vậy, BĐT tương đương với 

$$\prod {{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}  \le 5 \Leftrightarrow \prod {{{\left( {a - b} \right)}^2}} .\prod {{{\left( {a + b} \right)}^2}}  \le 5$$

Ta có

$$\prod {{{\left( {a + b} \right)}^2}}  = {\left[ {\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) - abc} \right]^2} \le {\left( {a + b + c} \right)^2}{\left( {ab + bc + ca} \right)^2} = 5{\left( {ab + bc + ca} \right)^2}$$

Nên ta cần chứng minh

$$5\prod {{{\left( {a - b} \right)}^2}} {\left( {ab + bc + ca} \right)^2} \le 5 \Leftrightarrow \prod {{{\left( {a - b} \right)}^2}} {\left( {ab + bc + ca} \right)^2} \le 1 = {{{{\left( {a + b + c} \right)}^{10}}} \over {{5^5}}}$$

Giả sử $a \ge b \ge c$

Suy ra $\left\{\begin{matrix} \left ( b-c \right )^{2}\leq b^{2}\\ \left ( a-c \right )^{2}\leq a^{2} \end{matrix}\right.$

Suy ra cần chứng minh 

$${a^2}{b^2}{\left( {a - b} \right)^2}{\left( {ab + bc + ca} \right)^2} \le {{{{\left( {a + b + c} \right)}^{10}}} \over {{5^5}}}$$

Theo AM - GM thì 

$${a^2}{b^2}{\left( {a - b} \right)^2}{\left( {ab + bc + ca} \right)^2} \le {{{{\left( {ab + ab + {a^2} - 2{\rm{a}}b + {b^2} + 2{\rm{a}}b + 2bc + 2ca} \right)}^5}} \over {{5^5}}} = {{{{\left( {{a^2} + {b^2} + 2{\rm{a}}b + 2bc + 2ca} \right)}^5}} \over {{5^5}}}$$

Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh 

$${a^2} + {b^2} + 2{\rm{a}}b + 2bc + 2ca \le {\left( {a + b + c} \right)^2} \Leftrightarrow {c^2} \ge 0$$

BĐT hiển nhiên đúng

Vậy ${P^2} \le 5$

Dấu bằng xảy ra khi $a = \left( {2 - \sqrt 3 } \right)b,c = 0$ và các hoán vị tương ứng

 

[binhnhaukhong]

Bài này có trong :Chứng minh bất đẳng thức bằng AM-GM của anh Cẩn