cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=\sqrt[]{5}$ . Tìm max của
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 06-10-2014 - 17:18
Bài trong báo THTT nhé bạn
thì cô mình mới ra nên chưa có hướg
Đặt $P = \left| {\prod {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)} } \right|$
Ta chứng minh BĐT mạnh hơn sau ${P^2} \le 5$
Thật vậy, BĐT tương đương với
$$\prod {{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}} \le 5 \Leftrightarrow \prod {{{\left( {a - b} \right)}^2}} .\prod {{{\left( {a + b} \right)}^2}} \le 5$$
Ta có
$$\prod {{{\left( {a + b} \right)}^2}} = {\left[ {\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) - abc} \right]^2} \le {\left( {a + b + c} \right)^2}{\left( {ab + bc + ca} \right)^2} = 5{\left( {ab + bc + ca} \right)^2}$$
Nên ta cần chứng minh
$$5\prod {{{\left( {a - b} \right)}^2}} {\left( {ab + bc + ca} \right)^2} \le 5 \Leftrightarrow \prod {{{\left( {a - b} \right)}^2}} {\left( {ab + bc + ca} \right)^2} \le 1 = {{{{\left( {a + b + c} \right)}^{10}}} \over {{5^5}}}$$
Giả sử $a \ge b \ge c$
Suy ra $\left\{\begin{matrix} \left ( b-c \right )^{2}\leq b^{2}\\ \left ( a-c \right )^{2}\leq a^{2} \end{matrix}\right.$
Suy ra cần chứng minh
$${a^2}{b^2}{\left( {a - b} \right)^2}{\left( {ab + bc + ca} \right)^2} \le {{{{\left( {a + b + c} \right)}^{10}}} \over {{5^5}}}$$
Theo AM - GM thì
$${a^2}{b^2}{\left( {a - b} \right)^2}{\left( {ab + bc + ca} \right)^2} \le {{{{\left( {ab + ab + {a^2} - 2{\rm{a}}b + {b^2} + 2{\rm{a}}b + 2bc + 2ca} \right)}^5}} \over {{5^5}}} = {{{{\left( {{a^2} + {b^2} + 2{\rm{a}}b + 2bc + 2ca} \right)}^5}} \over {{5^5}}}$$
Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh
$${a^2} + {b^2} + 2{\rm{a}}b + 2bc + 2ca \le {\left( {a + b + c} \right)^2} \Leftrightarrow {c^2} \ge 0$$
BĐT hiển nhiên đúng
Vậy ${P^2} \le 5$
Dấu bằng xảy ra khi $a = \left( {2 - \sqrt 3 } \right)b,c = 0$ và các hoán vị tương ứng
Bài này có trong :Chứng minh bất đẳng thức bằng AM-GM của anh Cẩn
Quy Ẩn Giang Hồ.
So goodbye!
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$Cho a,b,c\geq 0 \sum a\doteq 1 \sum \sqrt{\frac{a}{2a^{2}+bc}}\geq 2$Bắt đầu bởi TARGET, 07-03-2022 bdt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sqrt{\frac{4x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{4x^2+2xy+y^2}{3}}\geq 2x+y$Bắt đầu bởi lmtrtan123334, 18-10-2021 bdt |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của $P=8(a^2+b^2)-2a-2b$ biết $2a\sin^2 x+b(\sin x-\cos x)^2=0$ luôn có nghiệmBắt đầu bởi hieulu, 02-09-2021 toán 12, bdt, khó |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thứcBắt đầu bởi yungazier, 12-08-2021 batdangthuc, bdt |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
CMR $ 3\sum \frac{b}{a+b+1} \geq \sum \frac{4-a}{a+2} $Bắt đầu bởi Sin99, 24-07-2019 bdt |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh