Chủ đề này có 1 trả lời

[thao phuong]

Bài 1: Cho 2 số dương $x,y$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất:

 

P=$\frac{xy + yz + xz}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + x^{2} + y^{2} +z^{2}$ 

 

Bài 2: Cho 2 số dương $x, y$ thỏa mãn $x+y+1=3xy$.Tìm giá trị lớn nhất:
 

P=$\frac{3x}{y\left ( x+1 \right )} + \frac{3y}{x\left ( y +1 \right )} - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 13-11-2014 - 21:25

[le_hoang1995]

Bài 1: Cho 2 số dương $x,y$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất:

 

P=$\frac{xy + yz + xz}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + x^{2} + y^{2} +z^{2}$ 

Ta có $x^2+y^2+z^2\geq\frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{1}{3}$ và $x^2+y^2+z^2< (x+y+z)^2=1$

Đặt $x^2+y^2+z^2=a$, ta được $\frac{1}{3}\leq a<1$

Ta có $$P=\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}+x^2+y^2+z^2=\frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2(x^2+y^2+z^2)}+x^2+y^2+z^2=\frac{1}{2a}-\frac{1}{2}+a$$

Dự đoán Max tại $a=\frac{1}{3}$  khi đó $ P=\frac{4}{3}$ nên ta thử chứng minh

$$a-\frac{1}{2}+\frac{1}{2a}\leq \frac{4}{3}\Leftrightarrow (3a-1)(2a-3)\leq 0\Leftrightarrow \frac{1}{3}\leq a\leq \frac{3}{2}$$

Như vậy với $\frac{1}{3}\leq a<1$ thì $ P\leq \frac{4}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 23-11-2014 - 11:28