cho abc = 1, cmr $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$
cho các số a, b, c dương thỏa mãn abc=1, chứng minh rằng
#1
Đã gửi 27-11-2014 - 05:09
#2
Đã gửi 27-11-2014 - 11:26
$\sum \frac {a}{ab+1}= \sum \frac {a^2}{abc+a} \geq \frac {(\sum a)^2}{3+ \sum a} \geq \frac {3}{2}$
- nguyenhongsonk612 và conankun thích
#3
Đã gửi 27-11-2014 - 12:50
sai rồi bạn
#4
Đã gửi 27-11-2014 - 13:10
Mình đang học THCS nên chỉ gaiir dc theo cách THCS thôi:
Áp dụng bdt Cô si cho 3 số ta có:
$huge \frac{a}{ab+1}$ +$huge \frac{b}{bc+1}$ +$huge \frac{c}{ac+1} $huge \geqslant$ 3 \huge \sqrt[3]{\frac{abc}{(ab+1)(bc+1)(ac+1)}$
Mà abc= 1. Áp dụng tiếp cô si: ab+1$huge \geqslant$ 2$\fn \huge \sqrt{ab}$, bc+1$\huge \geqslant 2 \sqrt{bc}$
ac+1$\huge \geqslant 2\sqrt{ac}$ nên $huge \sqrt{(ab+1)(bc+1)(ac+1)}$$huge \geqslant 8\sqrt{ab.ac.bc}$ = 8abc=8
$huge \Rightarrow$ tổng đã cho $huge \geqslant$ 3$ huge \sqrt[3]{\frac{1}{8}}$ = 3/2 .đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vumaihuong: 27-11-2014 - 13:16
Kẻ thất bại là kẻ đã BỎ CUỘC khi chưa hề thất bại.
Người thành công là người KHÔNG bao giờ BỎ CUỘC dù chưa hề thành công!
#5
Đã gửi 27-11-2014 - 21:44
cho abc = 1, cmr $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$
$VT= \frac{1}{b+bc}+\frac{b}{bc+1}+\frac{bc}{1+b}$
$=\frac{1+b+bc}{b+bc}+\frac{1+b+bc}{bc+1}+\frac{1+b+bc}{1+b}-3$
$=(1+b+bc)(\frac{1}{b+bc}+\frac{1}{bc+1}+\frac{1}{b+1})-3$
$\geq (1+b+bc).\frac{(1+1+1)^2}{2(b+bc+1)}-3$ (bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)
$=\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
- Phuong Thu Quoc, Kim Vu, CaptainCuong và 2 người khác yêu thích
Chung Anh
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bdt
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$Cho a,b,c\geq 0 \sum a\doteq 1 \sum \sqrt{\frac{a}{2a^{2}+bc}}\geq 2$Bắt đầu bởi TARGET, 07-03-2022 bdt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sqrt{\frac{4x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{4x^2+2xy+y^2}{3}}\geq 2x+y$Bắt đầu bởi lmtrtan123334, 18-10-2021 bdt |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của $P=8(a^2+b^2)-2a-2b$ biết $2a\sin^2 x+b(\sin x-\cos x)^2=0$ luôn có nghiệmBắt đầu bởi hieulu, 02-09-2021 toán 12, bdt, khó |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thứcBắt đầu bởi yungazier, 12-08-2021 batdangthuc, bdt |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
CMR $ 3\sum \frac{b}{a+b+1} \geq \sum \frac{4-a}{a+2} $Bắt đầu bởi Sin99, 24-07-2019 bdt |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh