Chủ đề này có 4 trả lời

[conankid98]

cho abc = 1, cmr $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$

[David le]

$\sum \frac {a}{ab+1}= \sum \frac {a^2}{abc+a} \geq \frac {(\sum a)^2}{3+ \sum a} \geq \frac {3}{2}$

[conankid98]

sai rồi bạn

[vumaihuong]

Mình đang học THCS nên chỉ gaiir dc theo cách THCS thôi:

Áp dụng bdt Cô si cho 3 số ta có:

$huge \frac{a}{ab+1}$ +$huge \frac{b}{bc+1}$ +$huge \frac{c}{ac+1} $huge \geqslant$ 3 \huge \sqrt[3]{\frac{abc}{(ab+1)(bc+1)(ac+1)}$

Mà abc= 1. Áp dụng tiếp cô si: ab+1$huge \geqslant$ 2$\fn \huge \sqrt{ab}$, bc+1$\huge \geqslant 2 \sqrt{bc}$

 ac+1$\huge \geqslant 2\sqrt{ac}$ nên $huge \sqrt{(ab+1)(bc+1)(ac+1)}$$huge \geqslant 8\sqrt{ab.ac.bc}$ = 8abc=8

$huge \Rightarrow$ tổng đã cho $huge \geqslant$ 3$ huge \sqrt[3]{\frac{1}{8}}$ = 3/2 .đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vumaihuong: 27-11-2014 - 13:16

[Chung Anh]

cho abc = 1, cmr $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$

$VT= \frac{1}{b+bc}+\frac{b}{bc+1}+\frac{bc}{1+b}$

     $=\frac{1+b+bc}{b+bc}+\frac{1+b+bc}{bc+1}+\frac{1+b+bc}{1+b}-3$

     $=(1+b+bc)(\frac{1}{b+bc}+\frac{1}{bc+1}+\frac{1}{b+1})-3$

     $\geq (1+b+bc).\frac{(1+1+1)^2}{2(b+bc+1)}-3$ (bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)

     $=\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1