6 replies to this topic

[Nguyen Duc Phu]

Cho a,b,c dương và $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1$

Chứng minh: $\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{a+c}\geq \frac{1}{2}$

[Hoang Long Le]

Cho a,b,c dương và $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1$

Chứng minh: $\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{a+c}\geq \frac{1}{2}$

Theo AM-GM thì $1=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\leq a+b+c$

và Swarchz: $\sum \frac{a^2}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{1}{2}$

[rainbow99]

Cho a,b,c dương và $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1$

Chứng minh: $\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{a+c}\geq \frac{1}{2}$

Ta có: $\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{a+c}\geq\frac{a+b+c}{2}$ 

Lại có $a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}$

$\rightarrow \frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}\geq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}}{2}=\frac{1}{2}$

[Phuong Mark]

Ta có: $\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{a+c}\geq\frac{a+b+c}{2}$ 

Lại có $a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}$

$\rightarrow \frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}\geq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}}{2}=\frac{1}{2}$

thì như trên mà?

[Nguyen Duc Phu]

Bất đẳng thức swarchz đó chứng minh như thế nào? Còn dấu này$\sum$ là gì?

[baotranthaithuy]

$Swarchz$ là hệ quả của bunhia 

còn  $\sum$ là kí hiệu của tổng (có thể là tổng các hoán vị cũng có thể là tổng đối xứng)

$(\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a})[(a+b)+(b+c)+(c+a)]$

$\geq (\sqrt{\frac{a^{2}}{a+b}}.\sqrt{a+b}+\sqrt{\frac{b^{2}}{b+c}}.\sqrt{b+c}+\sqrt{\frac{c^{2}}{a+c}}.\sqrt{a+c})^{2}=(a+b+c)^{2}$

$\Rightarrow \frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}\geq \frac{a+b+c}{2}$

[dogsteven]

$\sum$ là ký hiệu của tổng hoán vị. Thường thường thì tính như sau: $\sum f(a,b,c)=f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)$

Ngoài ra cũng có thể viết $\sum\limits_{cyc} f(a,b,c)$

Còn $\sum\limits_{sym} f(a,b,c)=f(a,b,c)+f(a,c,b)+f(b,c,a)+f(b,a,c)+f(c,a,b)+f(c,b,a)$ là tổng đối xứng. Trong bộ số thì còn có ký hiệu loại này là $\sum! f(a,b,c)$