Cho a,b,c dương và $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1$
Chứng minh: $\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{a+c}\geq \frac{1}{2}$
Cho a,b,c dương và $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1$
Chứng minh: $\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{a+c}\geq \frac{1}{2}$
Khi chúng ta dựa vào mày tính làm trung gian cho sự hiểu biết về thế giới thì trí thông minh của chúng ta đã trở thành trí tuệ giả tạo.(Nicholas Carr trong Trí tuệ giả tạo-Internet đã làm gì chúng ta?)
Cho a,b,c dương và $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1$
Chứng minh: $\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{a+c}\geq \frac{1}{2}$
Theo AM-GM thì $1=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\leq a+b+c$
và Swarchz: $\sum \frac{a^2}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{1}{2}$
Cho a,b,c dương và $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1$
Chứng minh: $\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{a+c}\geq \frac{1}{2}$
Ta có: $\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{a+c}\geq\frac{a+b+c}{2}$
Lại có $a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}$
$\rightarrow \frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}\geq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}}{2}=\frac{1}{2}$
Ta có: $\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{a+c}\geq\frac{a+b+c}{2}$
Lại có $a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}$
$\rightarrow \frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}\geq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}}{2}=\frac{1}{2}$
thì như trên mà?
Hẹn ngày tái ngộ VMF thân yêu !
Bất đẳng thức swarchz đó chứng minh như thế nào? Còn dấu này$\sum$ là gì?
Khi chúng ta dựa vào mày tính làm trung gian cho sự hiểu biết về thế giới thì trí thông minh của chúng ta đã trở thành trí tuệ giả tạo.(Nicholas Carr trong Trí tuệ giả tạo-Internet đã làm gì chúng ta?)
$Swarchz$ là hệ quả của bunhia
còn $\sum$ là kí hiệu của tổng (có thể là tổng các hoán vị cũng có thể là tổng đối xứng)
$(\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a})[(a+b)+(b+c)+(c+a)]$
$\geq (\sqrt{\frac{a^{2}}{a+b}}.\sqrt{a+b}+\sqrt{\frac{b^{2}}{b+c}}.\sqrt{b+c}+\sqrt{\frac{c^{2}}{a+c}}.\sqrt{a+c})^{2}=(a+b+c)^{2}$
$\Rightarrow \frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}\geq \frac{a+b+c}{2}$
$\sum$ là ký hiệu của tổng hoán vị. Thường thường thì tính như sau: $\sum f(a,b,c)=f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)$
Ngoài ra cũng có thể viết $\sum\limits_{cyc} f(a,b,c)$
Còn $\sum\limits_{sym} f(a,b,c)=f(a,b,c)+f(a,c,b)+f(b,c,a)+f(b,a,c)+f(c,a,b)+f(c,b,a)$ là tổng đối xứng. Trong bộ số thì còn có ký hiệu loại này là $\sum! f(a,b,c)$
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh