Chủ đề này có 3 trả lời

[xinmotuocmo2001]

I) CMR với mọi x thuộc N sao thì n³ +n+2 là hợp số.

II) Tìm x,y thuộc N thoả mãn 2^x +1=y²

 

[xinmotuocmo2001]

I) CMR với mọi x thuộc N sao thì n³ +n+2 là hợp số.

II) Tìm x,y thuộc N thoả mãn 2^x +1=y²

 

[the man]

1.Cm với x$\epsilon$N*

Xét n lẻ, chẵn đều có $n^{3}+n \vdots 2 \rightarrow n^{3}+n+2 \vdots 2$

  do $n^{3}+n+2>2\rightarrow n^{3}+n+2$ là hợp số

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 07-02-2015 - 00:46

[huykinhcan99]

II) Tìm x,y thuộc N thoả mãn 2^x +1=y²

 

Giải: Từ phương trình đã cho trừ hai vế đi $1$ ta thu được

\begin{equation} \label{eq:1} 2^x =(y-1)(y+1) \end{equation}

 

Dễ thấy khi đó vế phải là một luỹ thừa của $2$, hai nhân tử $y-1$ và $y+1$ cũng phải là các luỹ thừa của $2$ (vì $y\in \mathbb{N}$)

 

Khi đó đặt $\left\{ \begin{array}{l} y-1=2^\alpha \\ y+1=2^\beta \end{array} \right. \quad \left(\alpha < \beta; \alpha,\beta \in \mathbb{N}; \alpha+\beta=x\right)$

 

Suy ra $$2=\left(y+1\right) - \left(y-1\right)=2^\beta-2^\alpha=2^\alpha \left(2^{\beta-\alpha}-1\right)$$

hay là: $2^{\alpha-1} \left(2^{\beta-\alpha}-1\right)=1$

 

Xét $\alpha=0$, ta có điều vô lý $2^\beta-1=2 \quad \left( \text{vì } 2 \not\mid 2^\beta-1\right)$

Vậy $\alpha\geqslant 1$, khi đó $2^{\alpha-1}$ và $2^{\beta-\alpha}-1$ hiển nhiên đều là các số tự nhiên

Dễ thấy khi đó, để tích của chúng bằng $1$ thì $2^{\alpha-1}=2^{\beta-\alpha}-1=1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \alpha=1 \\ \beta=2 \end{array} \right.$

 

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l} x=\alpha+\beta=3 \\ y=2^\alpha+1=3 \end{array} \right.$

Đó chính là $x$, $y$ cần tìm thoả mãn \eqref{eq:1}