Chủ đề này có 1 trả lời

[thao phuong]

Chứng minh 8n+1 và 21n+1 là số chính phương, với n>1 là số tự nhiên thì  8n+3 không là nguyên tố

[Dinh Xuan Hung]

Chứng minh 8n+1 và 21n+1 là số chính phương, với n>1 là số tự nhiên thì  8n+3 không là nguyên tố

Theo mình nghĩ đề bài đúng phải là 24n+1

Nếu vậy:

Đặt $\left\{\begin{matrix} 8n+1=a^2(a\epsilon \mathbb{N}) & & \\ 24n+1=b^2(b\epsilon \mathbb{N}) & & \end{matrix}\right.$

Ta có:$4a^2-b^2=4(8n+1)-(24n+1)=8n+3\Rightarrow 8n+3=(2a-b)(2a+b)$ 

Để $8n+3$ là số nguyên tố thì $(2a-b)(2a+b)$ phải là số nguyên tố mà $2a+b>2a-b$ 

$\Rightarrow 2a-b=1\Leftrightarrow b=2a-1\Leftrightarrow (2a-1)^2=24n+1\Leftrightarrow a^2=6n+a\Leftrightarrow 8n+1=6n+a\Leftrightarrow a=2n+1\Leftrightarrow a^2=(2n+1)^2\Leftrightarrow 8n+1=4n^2+4n+1\Leftrightarrow 4n(n-1)=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} n=0(KTM) & & \\ n=1(KTM) & & \end{bmatrix}$