Chủ đề này có 2 trả lời

[crisbale90]

1. Cho a,b là các số dương thoã mãn a+b=1.

 

Tìm GTNN của biểu thức: $T=\dfrac{19}{ab}+\dfrac{6}{a^2+b^2}+2016(a^4+b^4)$

 

2. Cho x,y thoã mãn: $\left\{\begin{matrix} x>1, y>1\\ x+y\le 4 \end{matrix}\right. $

 

Tìm GTNN của biểu thức $ P=\dfrac{x^4}{(y-1)^3}+\dfrac{y^4}{(x-1)^3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi crisbale90: 20-04-2015 - 17:39

[the man]

1. Cho a,b là các số dương thoã mãn a+b=1.

 

Tìm GTNN của biểu thức: $T=\dfrac{19}{ab}+\dfrac{6}{a^2+b^2}+2016(a^4+b^4)$

 

 

$T=\frac{19}{ab}+\frac{3}{a^2+b^2}+\frac{3}{a^2+b^2}+48(a^4+b^4)+1968(a^4+b^4)$

Ta có $ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{19}{ab}\geq 76$

$\frac{3}{a^2+b^2}+\frac{3}{a^2+b^2}+48(a^4+b^4)\geq \frac{3}{a^2+b^2}+\frac{3}{a^2+b^2}+24(a^2+b^2)^2\geq 3\sqrt[3]{3.3.24}=18$

$1968(a^4+b^4)\geq 1968.\frac{(a^2+b^2)^2}{2}=984(a^2+b^2)^2\geq 984\left ( \frac{(a+b)^2}{2} \right )^2=246$

$\Rightarrow T \geq 76+18+246=340$

$min T=340\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

[the man]

 

 

2. Cho x,y thoã mãn: $\left\{\begin{matrix} x>1, y>1\\ x+y\le 4 \end{matrix}\right. $

 

Tìm GTNN của biểu thức $ P=\dfrac{x^4}{(y-1)^3}+\dfrac{y^4}{(x-1)^3}$

$P\geq \frac{2x^2y^2}{\sqrt{(x-1)^3(y-1)^3}}$

$\sqrt{x-1}=\sqrt{(x-1).1}\leq \frac{x}{2};\sqrt{y-1}\leq \frac{y}{2}\Rightarrow \sqrt{(x-1)^3(y-1)^3}\leq \frac{x^3y^3}{64}\Rightarrow T\geq \frac{128}{xy}$

$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}\leq \frac{4^2}{4}=4\Rightarrow T\geq 32$

$min P=32\Leftrightarrow x=y=2$