Chủ đề này có 12 trả lời

[thansau99]

Cho các số thực x,y,z thuoc (-1,1).Chứng minh rằng:

                     

                       $\small \frac{1}{(1-x)(1-y)(1-z)}+\frac{1}{(1+x)(1+y)(1+z)}\geq 2$

[ducvipdh12]

áp dụng Cosi là ra rồi mà nhỉ

[Nguyen Minh Hai]

Cho các số thực x,y,z thuoc (-1,1).Chứng minh rằng:

                     

                       $\small \frac{1}{(1-x)(1-y)(1-z)}+\frac{1}{(1+x)(1+y)(1+z)}\geq 2$

Ta có:

$-1 <x,y,z<1$

Do đó: $(1-x),(1-y),(1-z),(x+1),(y+1),(z+1)$ đều là các số dương.

Áp dụng $AM-GM$ ta được:

$LHS \geq \frac{1}{(\frac{1-x+1-y+1-z}{3})^3}+\frac{1}{(\frac{x+1+y+1+z+1}{3})^3}$

$=\frac{27}{(3-x-y-z)^3}+\frac{27}{(x+y+z+3)^3}$

$=(\frac{27}{(3-x-y-z)^3}+\frac{3-x-y-z}{3}+\frac{3-x-y-z}{3}+\frac{3-x-y-z}{3})+(\frac{27}{(x+y+z+3)^3}+\frac{x+y+z+3}{3}+\frac{x+y+z+3}{3}+\frac{x+y+z+3}{3})-6$

$\geq 4+4-6=2$

Xảy ra đẳng thức khi $x=y=z=0$

[ducvipdh12]

Ta có:

$-1 <x,y,z<1$

Do đó: $(1-x),(1-y),(1-z),(x+1),(y+1),(z+1)$ đều là các số dương.

Áp dụng $AM-GM$ ta được:

$LHS \geq \frac{1}{(\frac{1-x+1-y+1-z}{3})^3}+\frac{1}{(\frac{x+1+y+1+z+1}{3})^3}$

$=\frac{27}{(3-x-y-z)^3}+\frac{27}{(x+y+z+3)^3}$

$=(\frac{27}{(3-x-y-z)^3}+\frac{3-x-y-z}{3}+\frac{3-x-y-z}{3}+\frac{3-x-y-z}{3})+(\frac{27}{(x+y+z+3)^3}+\frac{x+y+z+3}{3}+\frac{x+y+z+3}{3}+\frac{x+y+z+3}{3})-6$

$\geq 4+4-6=2$

Xảy ra đẳng thức khi $x=y=z=0$

cách gì khiếp thế,chỉ cần áp dụng cosi thẳng cho 2 số của vế trái là ok rồi @@

[hoanglong2k]

Ta có:

$-1 <x,y,z<1$

Do đó: $(1-x),(1-y),(1-z),(x+1),(y+1),(z+1)$ đều là các số dương.

Áp dụng $AM-GM$ ta được:

$LHS \geq \frac{1}{(\frac{1-x+1-y+1-z}{3})^3}+\frac{1}{(\frac{x+1+y+1+z+1}{3})^3}$

$=\frac{27}{(3-x-y-z)^3}+\frac{27}{(x+y+z+3)^3}$

$=(\frac{27}{(3-x-y-z)^3}+\frac{3-x-y-z}{3}+\frac{3-x-y-z}{3}+\frac{3-x-y-z}{3})+(\frac{27}{(x+y+z+3)^3}+\frac{x+y+z+3}{3}+\frac{x+y+z+3}{3}+\frac{x+y+z+3}{3})-6$

$\geq 4+4-6=2$

Xảy ra đẳng thức khi $x=y=z=0$

Khủng bố con họ à

Đặt $t=x+y+z$ thì $LHS\geq 27.\left [ \frac{1}{(3-t)^3}+\frac{1}{(3+t)^3} \right ]\geq 54.\sqrt{\frac{1}{[(3-t)(3+t)]^3}}\geq 54\sqrt{\frac{1}{9^3}}=2$

[Nguyen Minh Hai]

Khủng bố con họ à

Đặt $t=x+y+z$ thì $LHS\geq 27.\left [ \frac{1}{(3-t)^3}+\frac{1}{(3+t)^3} \right ]\geq 54.\sqrt{\frac{1}{[(3-t)(3+t)]^3}}\geq 54\sqrt{\frac{1}{9^3}}=2$

Thêm một cách khủng bổ nữa

$LHS=[\frac{1}{(1-x)(1-y)(1-z)}+(1-x)+(1-y)+(1-z)]+[\frac{1}{(x+1)(y+1)(z+1)}+(x+1)(y+1)(z+1)]-6$

$\geq 4+4-6=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 23-04-2015 - 16:22

[hoanglong2k]

Thêm một cách khủng bổ nữa

$LHS=[\frac{1}{(1-x)(1-y)(1-z)}+(1-x)+(1-y)+(1-z)]+[\frac{1}{(x+1)(y+1)(z+1)}+(x+1)(y+1)(z+1)]-6$

$\geq 4+4-6=2$

Oh yeah, Another solution :v

We have : 

  $LHS\geq \frac{2}{\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)}}\geq \frac{2}{\sqrt{1.1.1}}=2$

[Bichess]

cách gì khiếp thế,chỉ cần áp dụng cosi thẳng cho 2 số của vế trái là ok rồi @@

áp dụng như nào anh chỉ em dc k

[ducvipdh12]

áp dụng như nào anh chỉ em dc k

 

hoanglong2k có làm phía trên kìa em,anh cũng làm như thế

[Bichess]

hoanglong2k có làm phía trên kìa em,anh cũng làm như thế

nhưng em không hiểu đoạn cái mẫu nó <=1 a ạ

[ducvipdh12]

$VT\geq \frac{2}{\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)}}\geq 2$

[Bichess]

$VT\geq \frac{2}{\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)}}\geq 2$

x,y,z thuộc (-1;1) vậy đánh giá như thế nào để$\sqrt{1-x^2}\leq 1$

[ducvipdh12]

ơ,rõ ràng thế mà, vì $x\epsilon (-1,1)\Rightarrow x^2\epsilon [0,1)\Rightarrow 1-x^2\epsilon (0,1]\Rightarrow \sqrt{1-x^2}\epsilon (0,1]$