Chủ đề này có 3 trả lời

[crisbale90]

Bài 1: Cho $ 0<a,b,c \le 1 $. Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{a+b+c+}\ge \dfrac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c) $

 

Bài 2: $Cho x\ge y \ge z >0$. Chứng minh rằng: $\dfrac{x^2y}{z}+\dfrac{y^2z}{x}+\dfrac{z^2x}{y}\ge x^2+y^2+z^2 $.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi crisbale90: 26-04-2015 - 02:03

[Dinh Xuan Hung]

 

 

Bài 2: $ Cho x\ge y \ge z >0$. Chứng minh rằng $ \dfrac{x^2y}{z}+\dfrac{y^2z}{x}+\dfrac{z^2x}{y}\ge x^2+y^2+z^2$

Xét hiệu:$\sum \frac{x^2y}{z}-\sum x^2=\left ( \frac{z^2y}{x}+\frac{z^2x}{y}-2z^2 \right )+\left ( \frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}-\frac{z^2y}{x}-x^2-y^2+z^2 \right )=\frac{z^2(x-y)^2}{xy}+\frac{(x^2+xz-yz)(x-z)(y-z)}{xz}\geq 0$

$\Rightarrow \sum \frac{x^2y}{z}\geq \sum x^2$

[hoanglong2k]

Bài 1: Cho $ 0<a,b,c \le 1 $. Chứng minh rằng $\dfrac{1}{a+b+c+}\ge \dfrac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c) $

 

 

Ta có : $Ine\Leftrightarrow \frac{(1-a)+(1-b)+(1-c)}{3(a+b+c)}\geq (1-a)(1-b)(1-c)$

 

Giả sử $1\geq a\geq b\geq c> 0$ thì $1-a\leq 1-b\leq 1-c\Leftrightarrow 1-a+1-b+1-c\geq 3(1-a)\Rightarrow LHS\geq \frac{1-a}{a+b+c}$

 

Nên ta chỉ cần chứng minh $\frac{1}{a+b+c}\geq (1-b)(1-c)\Leftrightarrow (1-b)(1-c)(a+b+c)\leq 1$

 

Mà theo AM-GM thì $(1-b)(1-c)(a+b+c)\leq \left ( \frac{1-b+1-c+a+b+c}{3} \right )^3=\left ( \frac{2+a}{3} \right )^3\leq 1$  ( EP )

 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

[Nguyen Minh Hai]

Ta có : $Ine\Leftrightarrow \frac{(1-a)+(1-b)+(1-c)}{3(a+b+c)}\geq (1-a)(1-b)(1-c)$

 

Giả sử $1\geq a\geq b\geq c> 0$ thì $1-a\leq 1-b\leq 1-c\Leftrightarrow 1-a+1-b+1-c\geq 3(1-a)\Rightarrow LHS\geq \frac{1-a}{a+b+c}$

 

Nên ta chỉ cần chứng minh $\frac{1}{a+b+c}\geq (1-b)(1-c)\Leftrightarrow (1-b)(1-c)(a+b+c)\leq 1$

 

Mà theo AM-GM thì $(1-b)(1-c)(a+b+c)\leq \left ( \frac{1-b+1-c+a+b+c}{3} \right )^3=\left ( \frac{2+a}{3} \right )^3\leq 1$  ( EP )

 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

t nghỉ nên xét trường hợp có một biến bằng $1$ rồi sau đó giả sử $1>a \geq b \geq c$ thì đúng hơn.

Vì nếu giả sử $1 \geq a \geq b \geq c$ thì có một số chỗ đẳng thức không xảy ra