Chủ đề này có 11 trả lời

[QuynhTam]

1).Cho a,b,c>0, ab+bc+ca=3.CM:

 a. $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\geq \frac{3}{2}$

 b. $\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\leq 1$

2).cho a,b,c>0. CM:$a^3+b^3+c^3-3abc\geq (\frac{b+c}{2}-a)^3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuynhTam: 27-04-2015 - 15:25

[arsfanfc]

1).Cho a,b,c>0, ab+bc+ca=3.CM:

 

 b. $\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\leq 1$

 

$b, <=> a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2c^2 \geq 4$

Đặt $ab=x;bc=y;ca=z $

$=> x+y+z=3$

Vậy ta cần chứng minh :

$x^2+y^2+z^2+xyz-4 \geq 0$

Giả sử $x=min(x,y,z) , x \leq 1$ , ta có:

$x^2+y^2+z^2+xyz-4=x^2+(y+z)^2+yz(x-2)-4 \geq x^2+(y+z)^2+\frac{1}{4}(y+z)^2(x-2)-4=\frac{1}{4}(x-1)^2(x+2)\geq 0 $<luôn đúng >

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 27-04-2015 - 15:58

[dogsteven]

Bài 2. Đặt $t=\dfrac{b+c}{2}$. Khi đó ta có $a^3+b^3+c^3-3abc-(t-a)^3\geqslant a^3+2t^3-3at^2-(t-a)^3=(2a+t)(a-t)^2\geqslant 0$

[hoanglong2k]

$b, <=> a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2c^2 \geq 4$

Đặt $ab=x;bc=y;ca=z $

$=> x+y+z=3$

Vậy ta cần chứng minh :

$x^2+y^2+z^2+xyz-4 \geq 0$

Giả sử $x=min(x,y,z) , x \leq 1$ , ta có:

$x^2+y^2+z^2+xyz-4=x^2+(y+z)^2+yz(x-2)-4 \geq x^2+(y+z)^2+\frac{1}{4}(y+z)^2(x-2)-4$$=\frac{1}{4}(x-1)^2(x+2)\geq 0 $<luôn đúng >

Ngược dấu rồi Thìn

 

Giải tiếp :

Đặt $x=1+a$ ; $y=1+b \Rightarrow z=1-a-b$

Ta có : $x^2+y^2+z^2+xyz-4=a^2+b^2+ab-ab(a+b)=\frac{1}{4}.(1-b)(2a+b)^2+\frac{b^2}{4}(b+3)\geq 0$

Luôn đúng nếu ta giả sử $a\geq b\Rightarrow b\in \left ( -1;\frac{1}{2}\right )$

[binhnhaukhong]

1).Cho a,b,c>0, ab+bc+ca=3.CM:

 a. $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\geq \frac{3}{2}$

 b. $\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\leq 1$

 

b, $BĐT\Leftrightarrow \frac{1}{2}-\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{c^2+2}\geq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{a^2+2}\geq 1$

Áp dụng C-S ta có $\sum \frac{a^2}{a^2+2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a^2+6}=\frac{(a+b+c)^2}{\sum a^2+2\sum ab}=1$

a,

Có $\frac{1}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}$ nên BĐT cần chứng minh tương đương:

$\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{3a^2+ab+bc+ac}\leq \frac{1}{2}$

Mà $3a^2+ab+bc+ac=a(a+b+c)+(2a^2+bc)$ nên ta có:

$\frac{4a^2}{3a^2+ab+bc+ac}\leq  \frac{a}{a+b+c}+ \frac{a^2}{2a^2+bc}$

Tương tự có đpcm

[Lehalinhthcshb]

b, $BĐT\Leftrightarrow \frac{1}{2}-\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{c^2+2}\geq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{a^2+2}\geq 1$

Áp dụng C-S ta có $\sum \frac{a^2}{a^2+2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a^2+6}=\frac{(a+b+c)^2}{\sum a^2+2\sum ab}=1$

a,

Có $\frac{1}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}$ nên BĐT cần chứng minh tương đương:

$\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{3a^2+ab+bc+ac}\leq \frac{1}{2}$

Mà $3a^2+ab+bc+ac=a(a+b+c)+(2a^2+bc)$ nên ta có:

$\frac{4a^2}{3a^2+ab+bc+ac}\leq  \frac{a}{a+b+c}+ \frac{a^2}{2a^2+bc}$

Tương tự có đpcm

 

Taị sao lại suy ra điều này vậy?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lehalinhthcshb: 27-04-2015 - 18:47

[Nguyen Minh Hai]

Ngược dấu rồi Thìn

 

Giải tiếp :

Đặt $x=1+a$ ; $y=1+b \Rightarrow z=1-a-b$

Ta có : $x^2+y^2+z^2+xyz-4=a^2+b^2+ab-ab(a+b)=\frac{1}{4}.(1-b)(2a+b)^2+\frac{b^2}{4}(b+3)\geq 0$

Luôn đúng nếu ta giả sử $a\geq b\Rightarrow b\in \left ( -1;\frac{1}{2}\right )$

Chỗ của thằng Thìn đúng mà... $x-2 <0$ mà  

[arsfanfc]

Ngược dấu rồi Thìn

 

Giải tiếp :

Đặt $x=1+a$ ; $y=1+b \Rightarrow z=1-a-b$

Ta có : $x^2+y^2+z^2+xyz-4=a^2+b^2+ab-ab(a+b)=\frac{1}{4}.(1-b)(2a+b)^2+\frac{b^2}{4}(b+3)\geq 0$

Luôn đúng nếu ta giả sử $a\geq b\Rightarrow b\in \left ( -1;\frac{1}{2}\right )$

 

Chỗ của thằng Thìn đúng mà... $x-2 <0$ mà

Trong sách mà không đúng ak 2 thím

[Nguyen Minh Hai]

Taị sao lại suy ra điều này vậy

Chỗ đó là thế $6=2(xy+yz+zx)$ 

[QuynhTam]

b, $BĐT\Leftrightarrow \frac{1}{2}-\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{c^2+2}\geq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{a^2+2}\geq 1$

Áp dụng C-S ta có $\sum \frac{a^2}{a^2+2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a^2+6}=\frac{(a+b+c)^2}{\sum a^2+2\sum ab}=1$

a,

Có $\frac{1}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}$ nên BĐT cần chứng minh tương đương:

$\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{3a^2+ab+bc+ac}\leq \frac{1}{2}$

Mà $3a^2+ab+bc+ac=a(a+b+c)+(2a^2+bc)$ nên ta có:

$\frac{4a^2}{3a^2+ab+bc+ac}\leq  \frac{a}{a+b+c}+ \frac{a^2}{2a^2+bc}$

Tương tự có đpcm

Bạn làm rõ khúc này dùm mình được ko? Mình thấy $\frac{a^2}{2a^2+bc}$ chưa bị triệt tiêu?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuynhTam: 28-05-2015 - 21:33

[dogsteven]

Bạn làm rõ khúc này dùm mình được ko? Mình thấy $\frac{a^2}{2a^2+bc}$ chưa bị triệt tiêu?

$\sum \dfrac{a^2}{2a^2+bc}\leqslant 1$

[MathSpace001]

a,             ab + bc + ca = 3

      $<=> \frac{ab + bc +ca}{abc}= \frac{3}{abc}$

     $<=> \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= \frac{3}{abc}$

     $<=> \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^{2}= \frac{9}{a^{2}b^{2}c^{2}}$

Ta có $\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^{2}\leq 3\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} \right )$

    => $3\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} \right )\geq \frac{9}{a^{2}b^{2}c^{2}}$

    $<=> \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c2}\geq \frac{3}{a^{2}b^{2}c^{2}}$

Mặt khác   $ab + bc + ca \geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}

    <=> 3 \geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}$$<=> 1 \geq \sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}

    <=> 1 \geq a^{2}b^{2}c^{2} =>\frac{3}{a^{2}b{2}c^{2}}\geq 3=>...$