Chủ đề này có 4 trả lời

[Capture]

Tìm 7 số nguyên tố sao cho tích của chúng bằng tổng các lũy thừa bậc 6 của bảy số đó

[Nguyen Minh Hai]

Tìm 7 số nguyên tố sao cho tích của chúng bằng tổng các lũy thừa bậc 6 của bảy số đó

Định lí Fermat nhỏ:  Nếu $p$ là số nguyên tố, $(a,p)=1$ thì $a^{p-1}-1 \vdots p$

Gọi 7 số nguyên tố đó lả $p_{1 };p_{2};...;p_{7}$

Khi đó theo đề bài ta có:

$p_{1}.p_{2}...p_{7}=p_{1}^6+p_{2}^6+...+p_{7}^6$

 

 Nếu trong 7 số $p_{i}, i=\overline{1,7}$ không có số nào chia hết cho 7.

Khi đó: $\sum_{i=1}^7p_{i}^6=\sum_{i=1}^7 (p_{i}^6-1)+7$ $\vdots 7$

$\Rightarrow \prod_{i=1}^7 p_{i}$ $\vdots7$          (Vô lí, do ko có số nào chia hết cho 7)

$\Rightarrow$ có ít nhất một số chia hết cho 7, giả sử là $p_{7}$

$\Rightarrow p_{7}=7$ (vì là số nguyên tố)

  

Khi đó ta có:  $\sum_{i=1}^6p_{i}+7^6=7\prod_{i=1}^6p_{i}$

 

$\Rightarrow \sum_{i=1}^6p_{i}=7\prod_{i=1}^6p_{i}-7^6$

 

Nếu các số $p_{1};...;p_{6}$ không có số nào chia hết cho $7$ thì:

$\sum_{i=1}^6p_{i}=\sum_{i=1}^6\left ( p_{i}^6-1 \right )+6 \equiv 6 (mod 7)$          

 (Vô lí do $7\prod_{i=1}^6p_{i}-7^6$ $\vdots 7$

Do đó trong các số $p_{1};...;p_{6}$ có ít nhất một số chia hết cho 7, giả sử là $p_{6}$ thì $p_{6}=7$

 

Chứng minh tương tự ta có $p_{1}=p_{2}=...=p_{7}=7$, thử lại ta thấy thõa mãn đề bài. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 06-07-2015 - 09:52

[Capture]

Định lí Fermat nhỏ:  Nếu $p$ là số nguyên tố, $(a,p)=1$ thì $a^{p-1}-1 \vdots p$

Gọi 7 số nguyên tố đó lả $p_{1 };p_{2};...;p_{7}$

Khi đó theo đề bài ta có:

$p_{1}.p_{2}...p_{7}=p_{1}^6+p_{2}^6+...+p_{7}^6$

 

 Nếu trong 7 số $p_{i}, i=\overline{1,7}$ không có số nào chia hết cho 7.

Khi đó: $\sum_{i=1}^7p_{i}^6=\sum_{i=1}^7 (p_{i}^6-1)+7$ $\vdots 7$

$\Rightarrow \prod_{i=1}^7 p_{i}$ $\vdots7$          (Vô lí, do ko có số nào chia hết cho 7)

$\Rightarrow$ có ít nhất một số chia hết cho 7, giả sử là $p_{7}$

$\Rightarrow p_{7}=7$ (vì là số nguyên tố)

  

Khi đó ta có:  $\sum_{i=1}^6p_{i}+7^6=7\prod_{i=1}^6p_{i}$

 

$\Rightarrow \sum_{i=1}^6p_{i}=7\prod_{i=1}^6p_{i}-7^6$

 

Nếu các số $p_{1};...;p_{6}$ không có số nào chia hết cho $7$ thì:

$\sum_{i=1}^6p_{i}=\sum_{i=1}^6\left ( p_{i}^6-1 \right )+6 \equiv 6 (mod 7)$          

 (Vô lí do $7\prod_{i=1}^6p_{i}-7^6$ $\vdots 7$

Do đó trong các số $p_{1};...;p_{6}$ có ít nhất một số chia hết cho 7, giả sử là $p_{6}$ thì $p_{6}=7$

 

Chứng minh tương tự ta có $p_{1}=p_{2}=...=p_{7}=7$, thử lại ta thấy thõa mãn đề bài. 

Chỗ màu đỏ không chia hết cho 7 chứ

Đoạn màu xanh làm gọn hơn:

Trong 7 số nguyên tố đã cho, giả sử có k số khác 7, với $1\leq k\leq 6$

=> $p_{1}p_{2}p_{3}p_{4}p_{5}p_{6}p_{7}\vdots 7$ (Vì có ít nhất 1 số bằng 7)

Theo định lí Fermat nhỏ lại có: $\sum p_{i}^{6}\equiv k (mod7)$

Vì $1\leq k\leq 6$ nên $\sum p_{i}^{6}$ không chia hết cho 7 (Vô lí)

[Nguyen Minh Hai]

Chỗ màu đỏ không chia hết cho 7 chứ

Đoạn màu xanh làm gọn hơn:

Trong 7 số nguyên tố đã cho, giả sử có k số khác 7, với $1\leq k\leq 6$

=> $p_{1}p_{2}p_{3}p_{4}p_{5}p_{6}p_{7}\vdots 7$ (Vì có ít nhất 1 số bằng 7)

Theo định lí Fermat nhỏ lại có: $\sum p_{i}^{6}\equiv k (mod7)$

Vì $1\leq k\leq 6$ nên $\sum p_{i}^{6}$ không chia hết cho 7 (Vô lí)

Chỗ màu đỏ mình làm đúng..ko sai đâu! 

[Capture]

Chỗ màu đỏ mình làm đúng..ko sai đâu! 

ờ, sorry, tại ko nhìn dấu suy ra