Chủ đề này có 5 trả lời

[Belphegor Varia]

Russia 1999 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên dương $n$ : $\sum_{k=1}^{n^2}\left \{ \sqrt{k} \right \}\leq \frac{n^2-1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 12-07-2015 - 14:47

[ZzNightWalkerZz]

Russia 1999 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên dương $n$ : $\sum_{k=1}^{n^2}\left \{ \sqrt{k} \right \}\leq \frac{n^2-1}{2}$

Cho em hỏi cái, $VT$ có $n^2$ số hạng nên $VT\geq n^2>VP$ rồi còn gì nữa ? 

[Belphegor Varia]

Cho em hỏi cái, $VT$ có $n^2$ số hạng nên $VT\geq n^2>VP$ rồi còn gì nữa ? 

$\left \{ k \right \}$ là hàm phần lẻ của $k$ đó em, anh viết sai mất cái tiêu đề 

[dogsteven]

$VT=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+n-(n^2+1)n+\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Em không biết cái này có giúp được gì không.

[Belphegor Varia]

$\texttt{Solution}$

Spoiler

do thầy gợi ý

 

Ta sẽ chứng minh khẳng định bằng quy nạp theo $n$.

Với $n=1$ thì hiển nhiên khẳng đinh đúng. Giả sử khẳng định đúng với $n$ , ta chứng minh khẳng định đúng với $n+1$. Ta có nhận xét :

$n<\sqrt{n^2+1}<\sqrt{n^2+2}<...<\sqrt{n^2+2n}<n+1$

nên $\forall i=1,2,..,2n$ ta có : $\left \{\sqrt{n^2+i} \right \} =\sqrt{n^2+i}-n<\sqrt{n^2+i+\frac{i^2}{4n^2}}-n=\frac{i}{2n}$

Ta có :

$\sum_{k=1}^{(n+1)^2}\left \{ \sqrt{k} \right \}=\sum_{k=1}^{n^2}\left \{ k \right \}+\sum_{k=n^2+1}^{(n+1)^2}\left \{ k \right \}$

                       $< \frac{n^2-1}{2}+\frac{\sum_{i=1}^{2n}i}{2n}$ 

                       $= \frac{n^2-1}{2}+\frac{2n+1}{2}=\frac{(n+1)^2-1}{2}$

Suy ra khẳng định đúng với $n+1$ 

Vậy bài toán được chứng minh $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 13-07-2015 - 18:05

[ZzNightWalkerZz]

$\texttt{Solution}$

Spoiler

do thầy gợi ý

Ta sẽ chứng minh khẳng định bằng quy nạp theo $n$.
Với $n=1$ thì hiển nhiên khẳng đinh đúng. Giả sử khẳng định đúng với $n$ , ta chứng minh khẳng định đúng với $n+1$. Ta có nhận xét :
$n<\sqrt{n^2+1}<\sqrt{n^2+2}<...<\sqrt{n^2+2n}<n+1$
nên $\forall i=1,2,..,2n$ ta có : $\left \{\sqrt{n^2+i} \right \} =\sqrt{n^2+i}-n<\sqrt{n^2+i+\frac{i^2}{4n^2}}-n=\frac{i}{2n}$
Ta có :
$\sum_{k=1}^{(n+1)^2}\left \{ \sqrt{k} \right \}=\sum_{k=1}^{n^2}\left \{ k \right \}+\sum_{k=n^2+1}^{(n+1)^2}\left \{ k \right \}$
$< \frac{n^2-1}{2}+\frac{\sum_{i=1}^{2n}i}{2n}$
$= \frac{n^2-1}{2}+\frac{2n+1}{2}=\frac{(n+1)^2-1}{2}$
Suy ra khẳng định đúng với $n+1$
Vậy bài toán được chứng minh $\square$

Chuẩn cách em. Đang định gửi thì a trả lời : D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzNightWalkerZz: 13-07-2015 - 23:09