Chủ đề này có 5 trả lời

[iceviviannag2k]

Bài 1: CMR $\frac{-1}{2} \leq \frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^2)(1+b^2)} \leq \frac{1}{2}$

Bài 2: Cho $0<a,b,c<1$. CMR $\sum \frac{a}{b+c+1}+(1-a)(1-b)(1-c) \leq 1$

Bài 3: Cho $0<a,b,c<2$. và $a+b+c=3$. CMR $a^2+b^2+c^2 \leq 5$

Bài 4: Cho $a \leq 6; b \leq -8; c \leq 3$. CMR: $x^4-ax^2-bx \leq c$ với $x \leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iceviviannag2k: 25-07-2015 - 08:52

[huythang299]

$abc\geq 0, (2-a)(2-b)(2-c)\geq 0 \Leftrightarrow 8+2(ab+bc+ca)-4(a+b+c)-abc\geq 0\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 4+abc\geq 4\Rightarrow (a+b+c)^{2}\geq 4+a^{2}+b^{2}+c^{2}\Rightarrow$

Suy ra điều cần chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huythang299: 25-07-2015 - 10:08

[Hoang Nhat Tuan]

Bài 2: Giả sử $a\leq b\leq c$

Khi đó:

$\sum \frac{a}{b+c+1}\leq \frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{a+b+1}+\frac{c}{a+b+1}=\frac{a+b+c}{a+b+1}$

Áp dụng BĐT AM-GM thì:

$(1-a)(1-b)(a+b+1)\leq 1=>(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-c}{a+b+1}$

Từ đó suy ra ĐPCM

[Dinh Xuan Hung]

Bài 1: CMR $\frac{-1}{2} \leq \frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^2)(1+b^2)} \leq \frac{1}{2}$

 

C1:$\frac{(a+b).(1-ab)}{(1+a^{2}).(1+b^{2})}+\frac{1}{2}=\frac{(ab-a-b-1)^2}{2(1+a^2)(1+b^2)} \geq 0$

$\frac{1}{2}-\frac{(a+b).(1-ab)}{(1+a^{2}).(1+b^{2})} =\frac{(ab+a+b-1)^2}{2(1+a^2)(1+b^2)} \geq 0$

C2:Ta có:

Áp dụng $ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}$ ta có:
$(a^2+b^2+2ab)(a^2b^2-2ab+1)\leq \frac{(a^2+b^2+a^2b^2+1)^2}{4}=\frac{(a^2+1)^2(b^2+1)^2}{4}\Rightarrow \frac{(a+b)^2(ab-1)^2}{(a^2+1)^2(b^2+1)^2}\leq \frac{1}{4}\Rightarrow Q.E.D$

C3: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\[\left| {\frac{{\left( {a + b} \right)\left( {1 - ab} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}}} \right| \le \frac{1}{2}\]
Đặt $a = \tan \alpha ,b = \tan \beta $. Khi đó: \[\left| {\frac{{\left( {a + b} \right)\left( {1 - ab} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}}} \right| = \left| {\frac{{\left( {\tan \alpha + \tan \beta } \right)\left( {1 - \tan \alpha \tan \beta } \right)}}{{\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)\left( {1 + {{\tan }^2}\beta } \right)}}} \right|\]
\[ = \left| {{{\cos }^2}\alpha {{\cos }^2}\beta \frac{{\sin \left( {\alpha + \beta } \right)}}{{\cos \alpha \cos \beta }}.\frac{{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta }}{{\cos \alpha \cos \beta }}} \right|\]
\[ = \left| {\sin \left( {\alpha + \beta } \right)\cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right| = \frac{1}{2}\left| {\sin 2\left( {\alpha + \beta } \right)} \right| \le \frac{1}{2}\,\,\left( \text{đpcm} \right)\]

[iceviviannag2k]

$abc\geq 0, (2-a)(2-b)(2-c)\geq 0 \Leftrightarrow 8+2(ab+bc+ca)-4(a+b+c)-abc\geq 0\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 4+abc\geq 4\Rightarrow (a+b+c)^{2}\geq 4+a^{2}+b^{2}+c^{2}\Rightarrow$

Suy ra điều cần chứng minh

Dấu "=" ở đó không xảy ra mà bạn.

[huythang299]

Dấu "=" ở đó không xảy ra mà bạn.

bạn xem lại để đi chứ mình nhớ là a,b,c thuộc [0,2] mà