Chủ đề này có 3 trả lời

[Capture]

Cho các số thực a, b, c và abc=1

CMR: $\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^{3}}{(1+c)(1+a)}+\frac{c^{3}}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$

 

[hoangson2598]

Cho các số thực a, b, c và abc=1

CMR: $\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^{3}}{(1+c)(1+a)}+\frac{c^{3}}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$

Áp dụng AM-GM

$\frac{a^3}{(1+b)(1+b)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geq \frac{3a}{4}$ tương tự với b, c rồi cộng vào ta có:

$VT\geq \frac{a+b+c}{2}-\frac{3}{4}\geq\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangson2598: 25-07-2015 - 22:03

[Quoc Tuan Qbdh]

http://diendantoanho...1b1cgeq-frac34/

Mình chắc là cái này   

[Dinh Xuan Hung]

Cho các số thực a, b, c và abc=1

CMR: $\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^{3}}{(1+c)(1+a)}+\frac{c^{3}}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$

$$\sum \frac{a^4}{a(1+b)(1+c)}\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c+2(ab+bc+ac)+3}$$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có:

$a+b+c\geq 3;a^2+b^2+c^2\geq 3$

Áp dụng BĐT $C-S$:$3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\geq a+b+c$

Dễ có BĐT quen thuộc $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$

$\Rightarrow a+b+c+2(ab+bc+ca)+3\leq 4(a^2+b^2+c^2)\Rightarrow \frac{(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c+2(ab+bc+ca)+3}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{4}\geq \frac{3}{4}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$