Chủ đề này có 2 trả lời

[Totoro]

1.Cho tam giác ABC. các điểm M,N thuộc các cạnh AB,AC sao cho diện tích tam giác AMN bằng nửa diện tích tam giác ABC (M khác B, N khác C). Chứng minh rằng trọng tâm tam giác ABC nằm trong tam giác AMN
2.Cho tam giác ABC cân ở A.Trên cạnh AB lấy một điểm D và trên cạnh BC lấy 1 điểm E sao cho hình chiếu của DE lên BC bằng 1/2 BC. Chứng minh rằng đường vuông góc với DE tại E luôn đi qua một đi qua một điểm cố định
3. Cho (O), (O') cắt nhau tại A,B. Qua A kẻ cát tuyến MN (M thuộc (O),N thuộc (O')).Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua 1 điểm cố định
4.Cho (O) và một điểm S nằm ngoài (O).Một đường kính AB di chuyển quay quanh tâm O. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB luôn đi qua 2 điểm cố định

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 02-12-2015 - 20:17
Chú ý cách đặt Tiêu đề

[vkhoa]

1.Cho tam giác ABC. các điểm M,N thuộc các cạnh AB,AC sao cho diện tích tam giác AMN bằng nửa diện tích tam giác ABC (M khác B, N khác C). Chứng minh rằng trọng tâm tam giác ABC nằm trong tam giác AMN
2.Cho tam giác ABC cân ở A.Trên cạnh AB lấy một điểm D và trên cạnh BC lấy 1 điểm E sao cho hình chiếu của DE lên BC bằng 1/2 BC. Chứng minh rằng đường vuông góc với DE tại E luôn đi qua một đi qua một điểm cố định
3. Cho (O), (O') cắt nhau tại A,B. Qua A kẻ cát tuyến MN (M thuộc (O),N thuộc (O')).Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua 1 điểm cố định
4.Cho (O) và một điểm S nằm ngoài (O).Một đường kính AB di chuyển quay quanh tâm O. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB luôn đi qua 2 điểm cố định

2)
Gọi F là trung điểm BC
AF và đường thẳng qua E vuông góc DE cắt nhau tại G(1)
ta có $\widehat{DEH} =\widehat{EGF}$ (góc có cạnh tương ứng vuông góc) và $\widehat{DHE} =\widehat{EFG}$
=>$\triangle DHE \sim\triangle EFG$ (g, g)
=>$\frac{EH}{ED} =\frac{GF}{GE}$ (2)
mà EH =$\frac{BC}{2}$ =FB (3)
từ (2, 3) =>$\frac{FB}{ED} =\frac{GF}{GE}$
mà $\widehat{GFB} =\widehat{GED}$
=>$\triangle GFB \sim\triangle GED$ (c, g, c)
=>$\widehat{GBE} =\widehat{GDE}$
=>tứ giác BDEG nội tiếp
=>$\widehat{GBA} =180^\circ -\widehat{GED} =90^\circ$ (4)
từ (1, 4) =>G là điểm cố định (đpcm)

4)
ta có đ tròn ng tiếp SAB luôn đi qua điểm S cố định
đ tròn ngoại tiếp SAB cắt SO tại C
ta có $\widehat{OSA} =\widehat{OBC}$ và $\widehat{AOS} =\widehat{COB}$
=>$\triangle OAS \sim\triangle OCB$ (g, g)
=>$\frac{OS}{OB} =\frac{OA}{OC}$
có OS, OA, OB không đổi =>OC không đổi
=>C là điểm cố định (đpcm)

[vkhoa]

1.Cho tam giác ABC. các điểm M,N thuộc các cạnh AB,AC sao cho diện tích tam giác AMN bằng nửa diện tích tam giác ABC (M khác B, N khác C). Chứng minh rằng trọng tâm tam giác ABC nằm trong tam giác AMN
2.Cho tam giác ABC cân ở A.Trên cạnh AB lấy một điểm D và trên cạnh BC lấy 1 điểm E sao cho hình chiếu của DE lên BC bằng 1/2 BC. Chứng minh rằng đường vuông góc với DE tại E luôn đi qua một đi qua một điểm cố định
3. Cho (O), (O') cắt nhau tại A,B. Qua A kẻ cát tuyến MN (M thuộc (O),N thuộc (O')).Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua 1 điểm cố định
4.Cho (O) và một điểm S nằm ngoài (O).Một đường kính AB di chuyển quay quanh tâm O. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB luôn đi qua 2 điểm cố định

1)
Gọi F, D lần lượt là trung điểm AB, AC
lần lượt hạ CH, NI vuông góc AB tại H, I
giả sử $AM \leq AF$
<=>$\frac{2 .S_{AMN}}{NI} \leq \frac{2 .S_{AFC}}{CH}$ (1)
mà $S_{AMN} =S_{AFC}$
nên (1)<=>$\frac{NI}{CH} =\frac{NA}{CA} \geq 1$
=>$NA \geq CA$ (không thỏa mãn đ kiện N thuộc AC và không trùng C)
vì thế ta có AM >AF (2)
ta có $S_{AMN} =S_{ABD}$
<=>$S_{AMD} +S_{BMD} =S_{AMD} +S_{NMD}$
<=>$S_{BMD} =S_{NMD}$
<=>khoảng cách từ B đến MD =khoảng cách từ N đến MD
<=>MD //BN (3)
gọi G là trọng tâm ABC, MN cắt BD tại E
(3) =>$\frac{ED}{EB} =\frac{MD}{BN} =\frac{AM}{AB}$ (4)
từ (2, 4) =>EB <2 .ED
<=>EB +ED =DB <3 .ED
<=>$DE >\frac{DB}{3} =DG$
=>G nằm trong đoạn thẳng ED
=>G nằm trong tam giác AMN (đpcm)

3)
Kẻ đường kính AC của (O), kẻ đường kính AD của (O')
ta có $CM \perp MN$, $DN \perp MN$
=>MNDC là hình thang vuông
=>trung trực MN đi qua trung điểm E của CD
mà C, D cố định =>E cố định (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vkhoa: 04-12-2015 - 14:01