Chủ đề này có 7 trả lời

[loading121212]

1.Cho a,b,c$>0$.CM:$(\frac{a}{b+2c})^{2}+(\frac{b}{c+2a})^{2}+(\frac{c}{a+2b}^{2})\geq \frac{1}{3}$

2.Cho x,y,z$>0$,xyz=1.CM:$\frac{x+y}{x+y+1}+\frac{y+z}{y+z+1}+\frac{z+x}{z+x+1}\geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loading121212: 25-12-2015 - 11:09

[minhrongcon2000]

1.Cho a,b,c$>0$.CM:$(\frac{a}{b+2c})^{2}+(\frac{b}{c+2a})^{2}+(\frac{c}{a+2b}^{2})\geq \frac{1}{3}$

$\sum (\frac{a}{b+2c})^{2}\geqslant \frac{1}{3}\sum \frac{a}{b+2c}=\sum \frac{a^{2}}{ab+2ac}$

$\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{9(ab+bc+ca)}\geqslant \frac{3(ab+bc+ca)}{9(ab+bc+ca)}=\frac{1}{3}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

[haichau0401]

$\sum (\frac{a}{b+2c})^{2}\geqslant \frac{1}{3}\sum \frac{a}{b+2c}=\sum \frac{a^{2}}{ab+2ac}$

$\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{9(ab+bc+ca)}\geqslant \frac{3(ab+bc+ca)}{9(ab+bc+ca)}=\frac{1}{3}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Bạn ơi:

$\sum (\frac{a}{b+2c})^{2}\geqslant \frac{1}{3}\left ( \frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b} \right )^{2}$

chứ không phải 

$\sum (\frac{a}{b+2c})^{2}\geqslant \frac{1}{3}\sum \frac{a}{b+2c}$

[loading121212]

bạn xem lại bước thứ 2 một chút ,nếu sửa lại bài bạn vẫn đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loading121212: 25-12-2015 - 12:13

[vuliem1987]

Bài 2. Bổ đề : $x,y,z> 0;xyz=1$ , chứng minh rằng  $2\left ( x+y+z+1 \right )\leq (x+y)(y+z)(z+x)$

Bổ đề này không chỉ có ý nghĩa giải bài này theo ít nhất 1 cách mà còn có ứng dụng cho nhiều bài toán kiểu giả thiết này và BĐT cần chứng minh biến đổi được xuất hiện dạng chứa a+b+c , abc, ab+bc+ca

[minhrongcon2000]

Bạn ơi:
$\sum (\frac{a}{b+2c})^{2}\geqslant \frac{1}{3}\left ( \frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b} \right )^{2}$
chứ không phải 
$\sum (\frac{a}{b+2c})^{2}\geqslant \frac{1}{3}\sum \frac{a}{b+2c}$

  

bạn xem lại bước thứ 2 một chút ,nếu sửa lại bài bạn vẫn đúng

Sorry mấy bạn! Đúng là mình có sai!

[loading121212]

câu 2 có cách khác không bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loading121212: 25-12-2015 - 20:51

[vuliem1987]

Cách 2. Thay $x,y,z$ bởi $\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}$ vì giả thiết $xyz=1$

Tách ra làm 2 BĐT

$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+ab+bc}+\sum \frac{bc}{a^{2}+ab+bc}$

Sau dùng BĐT BCS hay Cauchy-Schwarz thì thu được đpcm!