Cho đa thức $P(x)$ bậc $n$ thỏa mãn $P(n) = \frac{1}{n} \; \forall n = 1, 2, \cdots n + 1$. Xác định $P(n + 2)$.
#2
Đã gửi 14-03-2016 - 19:57
viet nam in my heart
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 242 Bài viết
Thượng sĩ
Cho đa thức $P(x)$ bậc $n$ thỏa mãn $P(n) = \frac{1}{n} \; \forall n = 1, 2, \cdots n + 1$. Xác định $P(n + 2)$.
Bài này là bài quen mà không thấy ai làm nhỉ
Ta có: $Q(x)=xP(x)-1$ là một đa thức bậc $n+1$ và có $n+1$ nghiệm nên ta có
$xP(x)-1=a(x-1)(x-2)...[x-(n+1)]$ với mọi số $x$ ($a$ là hệ số cao nhất)
Giơ ta đi tìm $a$. Cho $x=0$ ta được: $-1=a(-1)(-2)..[-(n+1)]=a(n+1)!(-1)^{n+1}$
Suy ra $a=\dfrac{1}{(-1)^{n}(n+1)!}$
Thay $x=n+2$ ta được: $(n+2)P(n+2)=\dfrac{1}{(-1)^{n}(n+1)!}(n+1)!=\dfrac{1}{(-1)^{n}}$
Suy ra $P(n+2)=\dfrac{1}{(-1)^{n}(n+2)}$
- quangbinng, Element hero Neos và dunghoiten thích
"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đa thức
Solved
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
