Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a;b)$ sao cho $\frac{a^{2}-2}{ab+2}$ là số nguyên
#1
Đã gửi 13-03-2016 - 21:08
#2
Đã gửi 13-03-2016 - 21:16
- tquangmh và Unstopable thích
#3
Đã gửi 14-03-2016 - 20:18
- Unstopable yêu thích
#4
Đã gửi 14-03-2016 - 20:31
Trước hết, xét a=1 thì b=-1 hoặc b=-3 không thỏa mãn b nguyên dương
Xét $a\geq 2$ Để $\frac{a^2-2}{ab+2} \epsilon Z$ thì $a^2 -2 \vdots ab+2$ => $b.(a^2-2)\vdots (ab+2)$
=> $\left [ a.(ab+2) - 2.(a+b) \right ]\vdots (ab+2)$
=> $2.(a+b) \vdots (ab+2)$
Đặt $2.(a+b) = k.(ab+2)$ với $k \varepsilon N*$
Nếu k=1 =>$2.(a+b)=ab+2$ => $(2-a).(2-b) = 2$ => $a-2 ; b-2 \epsilon Ư(2)$
=> $\left\{\begin{matrix} a= 3 & & \\ b=4 & & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a=4 & & \\ b=3 & & \end{matrix}\right.$
TH : a=3 và b=4 loại
Nếu $k\geq 2$ => $2.(a+b)\geq 2.(ab+2)$ => $(a-1).(b-1)+1\leq)$ điều này vô lí vì$a\geq 2$ và b nguyên dương nên $b\geq 1$
Vậy tìm được a=4 , b=3
- Element hero Neos, Unstopable, Dark Magician 2k2 và 1 người khác yêu thích
#5
Đã gửi 14-03-2016 - 20:31
Lời giải của anh Hướng vẫn chưa chặt !! Xem lại
Có: $ab+2|a^{2}+2$
$\Rightarrow ab+2|b(a^{2}-2)\Rightarrow ab+2|ba^{2}-2b\Rightarrow ab+2|(ba^{2}+2a)-(2a+2b)\Rightarrow ab+2|2(a+b)\Rightarrow 2(a+b)=k(ab+2)(k\in\mathbb{N^{*}})$
Với $k=1\Rightarrow 2(a+b)=ab+2\Rightarrow (a-2)(b-2)=2$, đến đây lập bảng tìm ra $a$ và $b$
Với $k>1 \Rightarrow 2(a+b)=k(ab+2)$, vô lý
- Trung Kenneth và Unstopable thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$x^2+y^2+1\vdots 2xy+1$Bắt đầu bởi Pi1576, 13-05-2024 số học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$a! + b! + c! = 2^{d}$Bắt đầu bởi Khanh369, 10-05-2024 giai thừa, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$2^{a!} + 2^{b!} = c!$Bắt đầu bởi Khanh369, 08-05-2024 giai thừa, số học |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh