Cho $p$ là một số nguyên tố. Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $p\mid \dbinom{n}{k}$ với mọi $k = 1, 2, \cdots, n - 1$.
#1
Posted 20-03-2016 - 21:21
- Zaraki, tritanngo99 and Minhnguyenthe333 like this
#2
Posted 16-05-2019 - 17:45
Cho $p$ là một số nguyên tố. Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $p\mid \dbinom{n}{k}$ với mọi $k = 1, 2, \cdots, n - 1$.
Spoiler
Xét 2 trường hợp :
1) $n$ có dạng $p^m$ ($m$ nguyên dương) :
Khi đó, với mọi $k$ nguyên dương và $k\leqslant n-1=p^m-1$, ta có :
$\dbinom{n}{k}=\dbinom{p^m}{k}=\frac{T}{M}$ với $\left\{\begin{matrix}T=\left ( p^m \right )\left ( p^m-1 \right )\left ( p^m-2 \right )...(p^m-k+1)\\M=k!=1.2.3...k \end{matrix}\right.$
Gọi $N_1,N_2$ lần lượt là số mũ của $p$ khi phân tích $T$ và $M$ ra thừa số nguyên tố, ta có :
$N_1=\left \lceil \frac{k}{p} \right \rceil+\left \lceil \frac{k}{p^2} \right \rceil+\left \lceil \frac{k}{p^3} \right \rceil+...+\left \lceil \frac{k}{p^{m-1}} \right \rceil+\left \lceil \frac{k}{p^m} \right \rceil=\left \lceil \frac{k}{p} \right \rceil+\left \lceil \frac{k}{p^2} \right \rceil+\left \lceil \frac{k}{p^3} \right \rceil+...+\left \lceil \frac{k}{p^{m-1}} \right \rceil+1$
$N_2=\left \lfloor \frac{k}{p} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k}{p^2} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k}{p^3} \right \rfloor+...+\left \lfloor \frac{k}{p^{m-1}} \right \rfloor$
$\Rightarrow N_1\geqslant N_2+1\Rightarrow \dbinom{p^m}{k}\ \vdots\ p$
2) $n$ không có dạng $p^m$ :
a) $n$ không chia hết cho $p$ :
Khi đó dễ dàng thấy $\dbinom{n}{1}=n$ không chia hết cho $p$.
b) $n$ có dạng $q.p^m$ ($m,q$ nguyên dương ; $q\neq 1$ và $q$ không chia hết cho $p$)
Khi đó ta có :
$\dbinom{qp^m}{(q-1)p^m}=\frac{\tau }{\mu }$ với $\left\{\begin{matrix}\tau =(qp^m)(qp^m-1)(qp^m-2)...(p^m+1)\\\mu =\left [ (q-1)p^m \right ]! \end{matrix}\right.$
Gọi $N_3,N_4$ lần lượt là số mũ của $p$ khi phân tích $\tau$ và $\mu$ ra thừa số nguyên tố, ta có :
$N_3=\left \lceil \frac{(q-1)p^m}{p} \right \rceil+\left \lceil \frac{(q-1)p^m}{p^2} \right \rceil+\left \lceil \frac{(q-1)p^m}{p^3} \right \rceil+...+\left \lceil \frac{(q-1)p^m}{p^m} \right \rceil$
$N_4=\left \lfloor \frac{(q-1)p^m}{p} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{(q-1)p^m}{p^2} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{(q-1)p^m}{p^3} \right \rfloor+...+\left \lfloor \frac{(q-1)p^m}{p^m} \right \rfloor$
$\Rightarrow N_3=N_4\Rightarrow \dbinom{qp^m}{(q-1)p^m}$ không chia hết cho $p$
Vậy các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện đề bài có dạng $p^m$ (với $m$ nguyên dương).
Edited by chanhquocnghiem, 16-05-2019 - 17:56.
- tritanngo99, Tea Coffee, tr2512 and 1 other like this
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Also tagged with one or more of these keywords: số học, nhị thức
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$x^2+y^2+1\vdots 2xy+1$Started by Pi1576, 13-05-2024 số học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$a! + b! + c! = 2^{d}$Started by Khanh369, 10-05-2024 giai thừa, số học |
|
|||
Answered
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$2^{a!} + 2^{b!} = c!$Started by Khanh369, 08-05-2024 giai thừa, số học |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Started by Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngStarted by Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users