Cho x, y, z là các số thực dương thỏa
mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3.$ CMR:
$\frac{x}{x^{2}+y+z}+\frac{y}{x+y^{2}+z}+\frac{z}{z+y+z^{2}} \leq 1$
#2
Đã gửi 10-04-2016 - 12:25
tpdtthltvp
-
- Điều hành viên THCS
-
- 831 Bài viết
Trung úy
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa
mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3.$ CMR:
$\frac{x}{x^{2}+y+z}+\frac{y}{x+y^{2}+z}+\frac{z}{z+y+z^{2}} \leq 1$
Ta có:
$$3=x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\Rightarrow x+y+z\leq 3\Rightarrow x+y+z\leq x^2+y^2+z^2$$
Áp dụng $Cauchy-schwarz$, ta có:
$$(x^2+y+z)(1+y+z)\geq (x+y+z)^2\Rightarrow \frac{x}{x^2+y+z}\leq \frac{x(1+y+z)}{(x+y+z)^2}$$
Do đó:
$$\sum \frac{x}{x^2+y+z}\leq \sum \frac{x(1+y+z)}{(x+y+z)^2}=\frac{x+y+z+2(xy+yz+zx)}{(x+y+z)^2}\leq \frac{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)}{(x+y+z)^2}=1$$
- hoangson2598, PlanBbyFESN, Element hero Neos và 6 người khác yêu thích
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
#3
Đã gửi 20-04-2016 - 21:56
manhbbltvp
-
- Thành viên
-
- 152 Bài viết
Trung sĩ
bđt ở đây phải là bunhiacopxki
#5
Đã gửi 20-04-2016 - 22:02
tquangmh
-
- Thành viên
-
- 253 Bài viết
Thượng sĩ
dấu "=" xảy ra khi nào?
x=y=z=1
- tpdtthltvp yêu thích
"Cuộc đời không giống như một quyển sách,đọc phần đầu là đoán được phần cuối.Cuộc đời bí ẩn và thú vị hơn nhiều ..." Kaitou Kid
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
