Cho a,b >0 thoả mãn: $a^{2}+b^{2} \vdots ab+1$
Chứng minh rằng : $\frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}$ là số chính phương
Cho a,b >0 thoả mãn: $a^{2}+b^{2} \vdots ab+1$
Chứng minh rằng : $\frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}$ là số chính phương
Bài này em nên đăng ở box số học thì đúng hơn
Bài này ta dùng Viet Jumping
Đặt $k=\frac{a^2+b^2}{ab+1} (k \in \mathbb{Z})$
Giả sử $k$ không là số chính phương
Cố định số nguyên dương $k$, sẽ tồn tại cặp $(a,b)$ . Ta kí hiệu
$S=\{(a,b) \in NxN| \frac{a^2+b^2}{ab+1}=k\}$
Theo nguyên lí cực hạn thì các cặp thuộc $S$ tồn tại $(A,B)$ sao cho $A+B$ đạt min
Giả sử $A \ge B >0$ . Cố định $B$ ta còn số nữa khác $A$ thảo phương trình $k=\frac{x+B^2}{xB+1}$
$\Leftrightarrow x^2-kBx+B^2-k=0$ phương trình có nghiệm $A$
Theo Viet : $\begin{cases} &A+x_2=kB&\\&A.x_2=B^2-k& \end{cases}$
Suy ra $x_2=kB-A=\frac{B^2-k}{A}$
Dễ thấy $x_2$ nguyên.
Nếu $x_2<0$ thì $x_2^2-kBx_2+B^2-k \ge x_2^2+k+B^2-k>0$ (vô lí) . Suy ra $x_2 \ge 0$ do đó $(x_2,B) \in S$
Do $A \ge B>0 \Rightarrow x_2=\frac{B^2-k}{A}<\frac{A^2-k}{A}<A$
Suy ra $x_2+B<A+B$ (trái với giả sử $A+B$ đạt min)
Suy ra $k$ là số chính phương
Bài này là bài cuối cùng trong IMO 1989 em ạ. Anh dogsteven có nói cách nào đó gọi ước mà a quên rồi
Anh cố nhớ đc k ạ! e ms lớp 8 đọc cái này k hiểu j?
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh tích $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 chia hết |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$(3^{n}-1)\vdots 2^{2023}$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 06-02-2024 chia hết |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$144+ p^{n}$ là số chính phươngBắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 02-02-2024 số chính phương |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Viết các số tự nhiên liên tiếp:1, 2, 3,...,1999 theo thứ tự tùy ý thành một dãy số dài. Hỏi số đó chia hết cho 2005 không?Bắt đầu bởi David Ting, 29-12-2023 chia hết |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Cho a,b,c nguyên dương TM: a+10b, b+10c, c+10a hoặc là lũy thừa của 2 hoặc là lũy thừa của 5.CMR abc chia hết cho 10 nhưng không chia hết cho 100Bắt đầu bởi Explorer, 18-09-2023 số học, nguyên dương, lũy thừa và . |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh