Chủ đề này có 3 trả lời

[Hahahahahahahaha]

tìm các số nguyên tố $p$ và số tự nhiên $n$ sao cho $144+ p^{n}$ là số chính phương

[MHN]

 Đặt $a^2=p^n+144(a \in N)$ $\Leftrightarrow p^n=a^2-144=(a-12)(a+12)$

Từ $p^n=(a-12)(a+12), p $ là số nguyên tố nên $a-12=p^s,a+12=p^t$ với $s,t\in \mathbb{N},s\leq t$

Xét $s=0$ tìm được $a=13,p=5$

Xét $s>0$

Ta có: $p^t-p^s=24 \rightarrow p|24$, mà là số nguyên tố nên $p=2,3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 04-02-2024 - 09:56

[Duc3290]

Đặt: $a^2=p^n+144$$(a\in N)$

$\Leftrightarrow p^n=a^2-144=(a-12)(a+12)$

Mà: $a+12+a-12=2a \vdots 2$$\Rightarrow (a+12)(a-12) \vdots 2 \Rightarrow p^n \vdots 2$

$p$ là số nguyên tố $\Rightarrow p=2$

$\Rightarrow 2^n=(a+12)(a-12)$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2^x=a+12 & \\2^y=a-12 & \end{matrix}\right.$ với $(x+y=n;x>y;x,y\in N)$

$\Rightarrow 2^x-2^y=a+12-(a-12)=24\Leftrightarrow 2^y(2^{x-y}-1)=24$

Rồi xét các TH

Đoạn này sai rồi

[hngmcute]

Đặt $144+p^n=(12+k)^2 \Leftrightarrow p^n=24k+k^2 \Rightarrow p^n \vdots k \Rightarrow k \in \left \{ 1;p \right \} $

Xét $k=1$ ...

Xét $k=p$ có $p^n=24p+p^2$

TH1: $n \geq 2 \Rightarrow 24 \vdots p$ ...

TH2: $n=1$ ...

TH3: $n=0$ ...