Chủ đề này có 4 trả lời

[supernatural1]

Cho ba số a,b,c thuộc đoạn $[-1;3]$, và $a+b+c=3$.

Chứng minh rằng: $ a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq 11 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 08-05-2016 - 19:00

[royal1534]

Cho ba số a,b,c thuộc đoạn $[-1;3]$, và $a+b+c=3$.

Chứng minh rằng: $ a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 11 $

Từ giả thiết ta có: $(a+1)(b+1)(c+1) \geq 0$ và $(a-3)(b-3)(c-3) \leq 0$

$\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)-(a-3)(b-3)(c-3) \geq 0$

$\Rightarrow 4(ab+bc+ca)-8(a+b+c)+28 \geq 0$

$\Rightarrow 4(ab+bc+ca) \geq 8(a+b+c)-28=-4$

$\Rightarrow 2(ab+bc+ca) \geq -2$ 

Vì $a+b+c=3$ nên ta có:

$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=9-2(ab+bc+ca) \leq 9+2=11$ (Vì $2(ab+bc+ca) \geq -2$)

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi chẳng hạn $(a,b,c)=(-1,3,1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 08-05-2016 - 18:50

[PlanBbyFESN]

Cho ba số a,b,c thuộc đoạn $[-1;3]$, và $a+b+c=3$.

Chứng minh rằng: $ a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 11 $

 

Từ giả thiết ta có: $(a+1)(b+1)(c+1) \geq 0$ và $(a-3)(b-3)(c-3) \leq 0$

$\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)-(a-3)(b-3)(c-3) \geq 0$

$\Rightarrow 4(ab+bc+ca)-8(a+b+c)+28 \geq 0$

$\Rightarrow 4(ab+bc+ca) \geq 8(a+b+c)-28=-4$

$\Rightarrow 2(ab+bc+ca) \geq -2$ 

Vì $a+b+c=3$ nên ta có:

$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=9-2(ab+bc+ca) \geq 9+2=11$ (Vì $2(ab+bc+ca) \leq -2$)

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi chẳng hạn $(a,b,c)=(-1,3,1)$

 

Bài dạng này chẳng qua là đánh giá điều kiện của biến. Có điều roy làm nhầm:

 

$2(ab+bc+ca) \geq -2\Leftrightarrow -2(ab+bc+ca)\leq 2\Rightarrow BT\leq 11$

 

Thực ra đề bài ra sai phải là giá trị lớn nhất bằng 11. 

 

P/S: Bài này có nhiều cách!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 08-05-2016 - 18:45

[supernatural1]

Bài dạng này chẳng qua là đánh giá điều kiện của biến. Có điều roy làm nhầm:

 

$2(ab+bc+ca) \geq -2\Leftrightarrow -2(ab+bc+ca)\leq 2\Rightarrow BT\leq 11$

 

Thực ra đề bài ra sai phải là giá trị lớn nhất bằng 11. 

 

P/S: Bài này có nhiều cách!

em nhầm ạ

[hoduchieu01]

bài này là đánh giá biên