Jump to content

Photo

CMR: $\sum \frac{a}{(ab+a+1)^2}\geq \frac{1}{a+b+c}$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
4 replies to this topic

#1
doremon01

doremon01

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 posts

Cho các số thực dương a,b,c có tích bằng 1. CMR 

$\frac{a}{(ab+a+1)^{2}}+\frac{b}{(bc+b+1)^{2}}+\frac{c}{(ca+c+1)^{2}}\geq \frac{1}{a+b+c}$



#2
leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 posts

Cho các số thực dương a,b,c có tích bằng 1. CMR 

$\frac{a}{(ab+a+1)^{2}}+\frac{b}{(bc+b+1)^{2}}+\frac{c}{(ca+c+1)^{2}}\geq \frac{1}{a+b+c}$

 

Ta có: $[\sum \dfrac{a}{(ab+a+1)^2}].[\sum a] \geq (\sum \dfrac{a}{ab+a+1})^2$ (bất đẳng thức Bu-nhi-a)

 

Đến đây bạn chỉ việc cm bài toán quen thuộc $\sum \dfrac{a}{ab+a+1}=1$ 

 

$\iff \dfrac{ac}{abc+ac+c}+\dfrac{abc}{abc^2+abc+ac}+\dfrac{c}{ac+c+1}$

 

$=\dfrac{c+ac+1}{ac+c+1}=1$ (đpcm)

 

Dấu "=" $\iff a=b=c=1$


Edited by leminhnghiatt, 20-05-2016 - 22:31.

Don't care


#3
thank you

thank you

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 posts

Ta có: $[\sum \dfrac{a}{(ab+a+1)^2}].[\sum a] \geq (\sum \dfrac{1}{ab+a+1})^2$ (bất đẳng thức Bu-nhi-a)

 

minh thấy còn thắc mắc chỗ này bn ak. minh nghi ở đo phải là $\sum \frac{1}{a}$ chứ. 



#4
Zz NTL zZ

Zz NTL zZ

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 posts

Ta có: $[\sum \dfrac{a}{(ab+a+1)^2}].[\sum a] \geq (\sum \dfrac{1}{ab+a+1})^2$ (bất đẳng thức Bu-nhi-a)

 

Đến đây bạn chỉ việc cm bài toán quen thuộc $\sum \dfrac{1}{ab+a+1}=1$ 

 

$\iff \dfrac{1}{ab+a+1}+\dfrac{a}{abc+ab+a}+\dfrac{ab}{a^2bc+abc+ab}$

 

$=\dfrac{a+ab+1}{ab+a+1}=1$ (đpcm)

 

Dấu "=" $\iff a=b=c=1$

Cho mình hỏi tí: vậy cái cụm $\frac{1}{a+b+c}$ này thì ở đâu rồi bạn ?


 >> $Zz$ $NTL$ $zZ$ <<


#5
leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 posts

Cho mình hỏi tí: vậy cái cụm $\frac{1}{a+b+c}$ này thì ở đâu rồi bạn ?

Mk đã sửa ở trên


Edited by leminhnghiatt, 20-05-2016 - 22:39.

Don't care






Also tagged with one or more of these keywords: bất đẳng thức

1 user(s) are reading this topic

0 members, 1 guests, 0 anonymous users