Chủ đề này có 2 trả lời

[supernatural1]

cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Tìm GTLN của biểu thức:

$ T=\frac{a}{b^{4}+c^{4}+a}+\frac{b}{a^{4}+c^{4}+b}+\frac{c}{a^{4}+b^{4}+c} $

 

[Nam Duong]

cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Tìm GTLN của biểu thức:

$ T=\frac{a}{b^{4}+c^{4}+a}+\frac{b}{a^{4}+c^{4}+b}+\frac{c}{a^{4}+b^{4}+c} $

$\sum \frac{a}{c^4+b^4+a} \le \sum \frac{a^2}{abc(c^2+b^2)+a^2}=1$

[Element hero Neos]

cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Tìm GTLN của biểu thức:

$ T=\frac{a}{b^{4}+c^{4}+a}+\frac{b}{a^{4}+c^{4}+b}+\frac{c}{a^{4}+b^{4}+c} $

Cách khác

__________________________________

 

Áp dụng C.B.S ta có

$(b^4+c^4+a)(1+1+a^3)\geq(a^2+b^2+c^2)^2$

Suy ra

$\frac{a}{(b^4+c^4+a)}\leq\frac{a(a^4+2)}{(\sum a^2)^2}$

Tương tự, rồi cộng lại có

$T\leq\sum\frac{a^4+2}{(\sum a^2)^2}=\frac{\sum a^4+2a}{(\sum a^2)^2}(1)$

Mặt khác, ta lại có

$\sum\frac{1}{a^2}\geq\frac{1}{ab}$

$\Leftrightarrow \sum a^2b^2\geq\sum a$

$\Leftrightarrow 2\sum a^2b^2\geq 2\sum a$

$\Leftrightarrow\sum a^4+2\sum a^2b^2\geq\sum a^4+2\sum a$

$\Leftrightarrow \frac{\sum a^4+2a}{(\sum a^2)^2}\leq 1(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra

$T\leq 1$

Dấu $"="$ xảy ra khi

$a=b=c=1$

Vậy

$MaxT=1\Leftrightarrow a=b=c=1$